人教版六年级数学上册 教材知识点系统梳理

分数乘法的计算

知识精讲1：

1. 分数乘整数的意义

分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。

2. 分数乘整数的计算方法

分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。

结果要化成最简分数（约分）。

3. 分数乘整数的简便算法

能约分的可以先约分，再计算，这样可以简便些。

知识精讲2：

1. 分数乘分数的意义：分数乘分数，表示求这个数的几分之几是多少。

2. 分数乘分数的计算方法：用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。

3. 结果要化成最简分数（约分）。

知识精讲3：

1. 能约分的先约分再计算比较简便。

2. 可以把小数转化成分数来计算；

3. 如果分数能化成有限小数，也可以把分数化成小数来计算。

4. 可以根据数的特点，灵活选择方法进行计算。

奥数思维拓展：

运用拆分法解决稍复杂的分数计算问题

1.渗透两种数学思想：归纳、转化。

2.学习两种思维方法：拆分法、抵消法。

思 维提升：

[例题]计算： ＋ ＋ ＋…＋

[ 分析]

因为 ＝ ＝ - ＝1- ， ＝ ＝ - ＝ - 。

所以，以此类推可得 ＝ - ，…， ＝ - 。利用这个规律，我们可以很快地计算出算式的得数。

[ 解答]

＋ ＋ ＋…＋

＝（1- ）＋（ - ）＋（ - ）＋ …＋（ - ）

＝ 1- ＋ - ＋ - ＋ …＋ -

＝1-

＝

[ 技巧]

形如 的分数可以拆分成 - （a≠0）的形式。

举 一反三

计算：（1） ＋ ＋ ＋…＋

_（2） ＋ ＋ ＋…＋

_（3） ＋ ＋ ＋…＋

整数乘法运算定律推广到分数

知识精讲1：

分数四则运算顺序：分数四则运算顺序与整数四则混合运算相_同。

1.同级运算：算式中只有加、减或只有乘、除，要按照从左到右的顺序计算；

2.两级运算：算式中既有乘、除又有加、减，要先算乘、除法，后算加、减法；

3.有小括号：先算小括号里面的，后算小括号外面的。

_{知识精讲2：}

1.运算定律：

加 法交换律：a+b=b+a

加法运算定律：

加法结合律:a+b+c=a+(b+c)

乘 法交换律:a×b=b×a

乘法运算定律： 乘法结合律:a×b×c=a×(b×c)

乘法分配律:(a+b)×c=a×c+b×c

(a-b)×c=a×c-b×c

减法的性质： a－b－c = a－(b＋c)

除法的性质： a÷b÷c = a÷(b×c)

奥数思维拓展：

(一)用改造法解决复杂的有关乘法分配律的问题

1. 渗透两种数学思想：推理、类比。

2. 学习两种思维方法：转化法、分析法。

思 维提升
[例题]计算： × ＋ ×

[分析]
因为分数乘法是用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，所以互换分子或分母.积的大小不变，即 × ＝ ＝ ×

这样就同前一个乘法算式有相同的因数 ，然后运用乘法分配律进行计算。

[ 解答]

× ＋ × 交换了分子

＝ × ＋ × 的位置

＝ ×（ ＋ ）

＝

[技巧]
在分数乘法中，为了计算简便，可以运用交换律交换两个分数的位置，还可以交换它们
分子或分母的位置，积不变。计算时有些题目从表面上看不能直接运用运算定律进行简
便计算，实际上可以运用转化、变形等方法进行简便计算。

[ 举一反三]
计算下面各题。

× ＋ × × ＋ × × ＋ ×

（二）运用拆分法解决稍复杂的分数计算问题

1、渗透两种数学思想：归纳、转化。

2、学习两种思维方法：拆分法、抵消法。

思维提升

[ 例题]

[分析]把题中的每个数分别扩大到原来的2（分母中两个因数的差）倍，各加数分别变为 ，

， ,…， ，而 ＝1- ， ＝ - ， ＝ - ，…， ＝

- ，可知把各项拆分成两个数的差计算比较简便，最后把所得的结果再缩小到它的 ，

从 而得出原题的结果。

[解答]

＝（ ＋ ＋ ＋…＋ ）×

＝（1- ＋ - ＋ - ＋…＋ - ）×

＝（1- ）×

＝ ×

＝

[技巧] 形如 的分数可以拆分成（ － ）× _（a≠0,n≠0）的形式。

[举一反三]：

分数乘法的应用

知识精讲1：

1. 连续求一个数的几分之几是多少的问题：

1. 解决“连续求一个数的几分之几是多少”的实际问题，关键是弄清每一步单位“1”的量。

2. 用示意图可以比较清楚地表示出他们之间的数量关系：单位“1”的量×比较量占单位“1”的几分之几＝比较量。

3. 根据关键词巧判断单位“1”：

“的”前“比”后。

☆补充知识：

①“比”字后面是单位“1”（分率在后面）；

②“是”字后面是单位“1”（分率在后面）；

③“占”字后面是单位“1”（分率在后面）；

④“相当于”字后面是单位“1”（分率在后面）。

知识精讲2：

1.求比一个数多几分之几的数是多少的问题的解题方法

1. 单位“1”的量＋单位“1”的量×比单位“1”多的几分之几＝所求的量

2. 单位“1”的量×（1＋比单位“1”多的几分之几）＝所求的量

2.求比一个数少几分之几的数是多少的问题的解题方法

（1）单位“1”的量－单位“1”的量×比单位“1”多的几分之几＝所求的量

（2）单位“1”的量×（1－比单位“1”少的几分之几）＝所求的量

奥数思维拓展：

（一）重叠问题：

1.渗透三种数学思想：集合、推理、数形结合

2.学习一种思维方法：数形结合法

[ 例题]六（1）班一共有48人，琪琪对全班同学喜欢语文和数学两门课程的人进行了调查，发现喜欢数学的人占全班人数的 ，喜欢语文的人数占全班人数的 ，每个人至少喜欢一门。这个班既喜欢语文又喜欢数学的 一共有多少人？

[ 分析]画图分析题意。

喜欢语文 喜欢数学

既喜欢语文又喜欢数学

思路1：根据下面的数量关系解答。

既喜欢语文又喜欢数学＝喜欢语文的人数 + 喜欢数学的人数 - 全班人数

思路2：先求出喜欢语文的人数和喜欢数学的人数一共占全班的几分之几，再求比单位“1”超出几分之几，最后用总人数乘超出的几分之几，就是既喜欢语文又喜欢数学的人数。

[ 解答]

方法1: 48× ＋48× ﹣48＝8（人）

方法2： 48×（ ＋ ﹣1）＝8（人）

答：这个班既喜欢语文又喜欢数学的一共有8人。

[技巧]解决重叠问题时，先从条件入手，借助示意图进行分析，找出哪些是重复的，重复了几次，明确求的是哪一部分，从而找出解题的方法。

[ 举一反三]

1 .中心小学六（1）班有45名学生，其中订《英语报》的占全班人数的 ，订《数学报》的占全班人数的 ，每人至少订阅一种。两种报纸都订阅的学生有多少名？

2 .乐器兴趣小组有24人，其中会弹钢琴的占 ，会弹古筝的占 ，每人至少会一种。两种乐器都会的有多少人？

3.六（6）班有学生55人，参加学校绘画比赛的占 ，即参加绘画比赛又参加书法比赛的 ，

两项比赛都参加的有14人。参加书法比赛的有多少人？

（二）用列表法解决分数连乘问题：

1.渗透一种数学思想：推理思想。

2.学习两种思维方法：列举法、尝试法。

思 维提升

[例题]皮球从高处自由落下，每次接触地面弹起的高度是前一次的 ，如果皮球从50m高处落下，第三次弹起的的高度是多少米？

[分析]

列表观察每次弹起的高度变化情况。

[ 解答]

5 0× × × ＝ （m）

答：第三次弹起的高度是 m。

[技巧]

通过列表，可以清楚地观察到皮球每次弹起的高度变化情况，便于理解数量关系。

[举一反三]

1 .瓶子中装有一种孢子，每小时分裂1次，体积增大1倍，如果最初孢子的体积占瓶子的

，三小时后孢子的体积占瓶子的几分之几？

2.一件商品1200元，每次所降的价格都是上一次售价的 ，这件商品第二次降价后的售价是多少元？

3 .猴王把2000个桃子分给一群猴子吃，第一次分了总数的 ，第二次分了余下的 ，第三次分了第二次余下的 ，猴王第三次分了多少个桃子？

位置与方向（二）

知识精讲1：

根据方向和距离在平面图上确定物体位置

1 .确定参照点，建立方向标。

2.根据方向初步确定物体位置。（用量角器确定方向）

3.根据距离确定物体的具体位置，标上名称。

（以选定的单位长度为基准，用直尺确定图上距离）。

知识精讲2：

描述简单的路线图的方法

（1）先按行走路线确定每一个参照点，然后确定行走的方向和路程，

（ 2）即每一步都要说清是从哪里出发，向什么方向走多远的距离到达哪儿。

知识精讲3：

绘制路线图的步骤和方法:

1. 确定方向标和单位长度。

2. 确定起点的位置。

3. 根据描述,从起点出发,找好方向和距离,一段一段地画。除第一段(以起点为参照点),其余每段都要以前一段的终点为参照点。

4. 以谁为参照点，就以谁为中心画出“十”字方向标，然后判断下一点的方向和距离。

倒数的认识和分数除法计算

知识精讲1：

1.倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。

2. 和 互为倒数，就是指： 的倒数是 ， 的倒数是 。

3.互为倒数的两个数特点：

（1）如果两个数都是分数，那么两个分数的分子和分母正好颠倒了位置；

（2）如果一个是整数，则另一个分数的分子是1，分母是这个整数；

（3）0没有倒数。

知识精讲2：

分数除以整数，等于分数乘以这个整数的倒数。

1. 分数除以整数，用分数的分子除以这个整数的方法存在局限性，它仅仅适用于分子能被整数整除的情况。

（2）分数除以整数，把分数除法转化为分数乘法进行计算的方法具有实用性和普遍性，运用转化的数学思想。

知识精讲3：

1.一个数除以分数除以分数，用这个数乘分数的倒数。

（1）被除数不变；

2.将分数除法转化成分数乘法的要点： （2）除号变乘号；

（3）除数变成它的倒数。

小于1的数（0除外），商大于被除数；

3.（1）一个数（0除外）除以 1，商等于被除数；

大于1的数，商小于被除数。

（2）0除以任何数（0除外）都得0。

知识精讲4：

分数的四则混合运算的运算顺序与整数的四则混合运算的运算顺序相同。

（1）在没有括号的算式里：只有乘、除法或者只有加、减法， 按照从左到右的顺序依次进行计算。——同级运算

（2）在没有括号的算式里，既有加、减法又有乘、除法，要先算乘、除法，再算加、减法。——两级运算

（3）有小括号的算式里，应该先算小括号里面的，后算小括号外面的。——含括号

奥数思维拓展

一、简便计算：

1、渗透两种数学思想：推理思想、转化思想。

2、学习三种思维方法：拆分法、转化法与尝试法。

[例题]计算：（1） ÷ 41 （2）2014 ÷

[分析]

仔细观察算式和数，就会发现：

1. 中的 可以分成一个41的倍数与另一个较小的数相加，再利用除法的性质运算简便。

2. 中的 化为假分数时，将分子用两个数想乘的形式呈现，则便于约分和计算。

[ 解答]

1. ÷ 41 （2）2014 ÷

＝（205＋2 ）÷ 41 ＝2014÷

＝205÷41＋2 ÷41 ＝2014÷

＝5＋ ＝2014×

＝5 ＝

[技巧]

仔细观察运算符号和数的特点，合理地把参加运算的数拆开或将带分数化成假分数等，使其变成符合运算定律的模式，从而简化运算。

[举一反三]

166 ÷ 41 54 ÷ 17 235÷ 1997÷

二、用转化法解决复杂的分数问题：

1、渗透两种数学思想：类比思想、推理思想。

2、学习两种思维方法：抵消法、转化法。

[例题1]有一个分数，分子加上5可化简为 ，分子减5可化简为 ，这个分数是多少？

[ 分析]

比原分数多5个位数单位， 比原分数少5个分数单位， 与 的和正好是原分数的2倍

（多5个分数单位和少5个分数单位相互抵消)，用它们的和除以2就得到原分数。

[解答]（ ＋ ）÷2 ＝ × ＝

答：这个分数是 。

[例题2]有一个分数，分母加7可化简为 ，分母减7可化简为 ，这个分数是多少？

[分析]

1. 分母加的数和分母减的数相同，将这个分数的分子、分母交换位置，则条件可以转化为

分子加7可化简为 ，分子减7可化简为 。

2. 比原分数的倒数多7个分数单位， 比原分数的倒数少7个分数单位， 与 的和

正好是原分数倒数的2倍（多7个分数单位和少7个分数单位正好抵消）。

[解答] （ ＋ ）÷2 ＝ × ＝

的倒数是 。

答：这个分数是 。

[技巧]

1. 一个分数的分子加、减同一个数后得到两个新的分数，那么这两个新的分数的平均数就是原分数。

2. 一个分数的分母加、减同一个数后得到两个新的分数，两个新分数倒数的平均数就是原分数的倒数。

[ 举一反三]

1.有一个分数，分子加上1可化简为 ，分子减1可化简为 ，这个分数是多少？

2.有一个分数，分母加1可化简为 ，分母减1可化简为 ，这个分数是多少？

分数除法 解决问题1

知识精讲1：

已知一个数的几分之几是多少，求这个数：

1. 用算数法解决实际问题的一般步骤：

①找准单位“1”的量，设为x; ②找出题目中的等量关系；

③列出方程求解； ④检验作答。

2. 用算书法解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的方法：

①找出单位“1”；

②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几；

③列出除法算式，即 已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量。

知识精讲2：

已知一个数的连续几分之几是多少，求这个数：

①从含有分率的句子里找准单位“1”；

②明确各量之间的等量关系；

（可辅助线段图找等量关系）

③根据等量关系列方程或用算术方法解答。

知识精讲3：

1.已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。

（1）“已知比一个数多（少）几分之几的数是多少，求这个数”的实际问题的结构特征：

单位“1”是未知的，已知比较量和比较量比单位“1”多（少）几分之几，求单位“1”。

（2）解题方法—方程法 解题方法—算书法

①找准单位“1”的量，设为x； ①先找到题中单位“1”的量；

②找出题目中的等量关系； ②计算出已知量占单位“1”的几分之几或

③列出方程求解； 是单位“1”的几分之几倍；

④检验作答。 ③再根据分数除法的意义列除法算式解答。

2.方法总结：

（ 1）已知一个数的几分之几是多少，求这个数；

（

方法总结

（3）已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数。

① 从含有分率的句子里找准单位“1”；

②明确各量之间的等量关系；

可辅助线段图找等量关系

③根据等量关系列方程或用算术方法解答。

奥数思维拓展：

转化单位“1”

1. 渗透两种数学思想：化归思想、方程思想。

2. 学习两种思维方法：转化法、对应法。

[例题]明明三天读完一本书，第一天读了全书的 ，第二天读了余下的 ，第二天比第一天多读了15页，这本书共有多少页？

[ 分析]

1. 是把全书看作单位“1”，而 是把第一天读后余下的页数看作单位“1”。

（ 2）根据“第一天读了全书的 ”和“第二天读了余下的 ”，可以求出第二天读的页数是（1－ ）× ＝ 。

（3）根据“第二天比第一天多读了15页”，结合分析（2）列方程解答。

[解答]

解 ：设这本书有x 页。

（1－ ）× x－ x ＝15

x－ x＝15

x＝300

答：这本书共有300页。

[技巧]

把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定条件下转化，需要统一单位“1”才能解决问题。

[ 举一反三]

1.加工一批零件，第一天完成这批零件的 ，第二天完成第一天的 ，还剩120个零件没有完成。这批零件共有多少个？

2 .修一条水渠，第一个月完成了这条水渠的 ，第二天完成了余下的 ，已知两个月共修水渠1200m,这条水渠全长多少米？

3.某家电城出售一批电视机，第一个月卖出这批电视机的 ，第二个月卖出余下的 。已知第二个月卖出的台数比第一个月少200台，这批电视机共有多少台？

分数除法 解决问题2

知识精讲1：

解答“已知两个数的和（差），其中一个量是另一个量的几分之几，求这两个量”的实际问题时需要注意：

1. 题中有两个未知数，可以选择一个设为x，把另一个未知数用含x的式子表示出来，列出方程；

2. 解方程求出x后，再求初另一个未知数；

3. 通过列式计算，检验两个得数的和（差）及倍数关系是否符合已知条件。

知识精讲2：

1.工程问题

数量关系：工作总量=工作效率×工作时间

工作效率=工作总量÷工作时间

工作时间=工作总量÷工作效率

把工作总量看作单位“1”，完成此项工作的时间是几，其工作效率就是几分之一。

列式时，工作效率可以当作已知条件直接参与列式。

2.工程问题的解决方法：

在实际生活中，有很多像盖房子、修公路这样的问题，它们统称为“工程问题”。解决这类问题的一般步骤：

1. 一设：设工作总量为一个具体的数量或者单位“1”；

2. 二列：根据“工作总量÷两队的工作效率和=工作时间”列式；

3. 三算：计算并检验作答。

奥数思维拓展：

用假设法解答工程问题中的请假问题：

1.渗透两种数学思想：假设思想、数学模型思想。

2.学习两种思维方法：假设法、数量关系法。

[例题]某项工程，甲单独做要20天完成，乙单独做要30天完成。开始两人合作，中途因甲有事请假离开几天，一共经过15天才完成工程，甲请了几天假？

[分析]

1. 假设甲没有请假，计算15天两人一共完成这项工程的几分之几，得到超出这项工程的几分之几；

2. 计算超出的部分如果由甲单独做几天完成，所求的天数即为甲请假的天数。

3. 根据“工作总量÷工作效率＝工作时间”列式解答。

[ 解答] （ ＋ ）×15 （ －1）÷ 检验：

甲完成的工作量： ×（15－5）＝

＝ ×15 ＝ ×20

乙完成的工作量： ×15＝

＝ ＝5（天）

完成的工作总量： ＋ ＝1

答：甲请了5天假。

正好是这项工程单位“1”。

[技巧] 要求甲请了几天假，直接计算很难入手，用假设没请假的方法可以使复杂的问题迎刃而解。解题的关键是理解甲完成超出工作量的时间就是甲请假的时间。

[举一反三]

1.一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成，这项工作先由甲做了若干天，再由乙继续做完，从开始到完工共用了14天，甲做了几天？

2.一项工程，甲队单独做要50天完成，乙队单独做要75天完成，现在两队合作，中间乙队休息了若干天，这样共用了40天才完成，乙队休息多少天？

比的意义和性质

知识精讲1：比与比值。

1 .两个数的比表示两个数相除。

比值可以是分数，

可以是小数，

可以是整数

前项÷后项

求比值

2.注意：（1）比与除法：都表示两个数的倍比关系，表现形式不同；

（2）比与比值：比表示两个数量的倍数关系，比值是一个具体的数；

a:b或 整数或分数或小数

3. 分数 ，既可以表示a:b，又可以表示a:b的比值，需要具体情况具体分析。

知识精讲2：

1.比与分数、除法之间的联系。

比 除法 分数

3 : 5 = 3 ÷ 5 =

除法： 被除数 ÷ 除数 = 商 被除数÷商=除数 商×除数=被除数

比： 前 项 ÷ 后项 = 比值 前 项÷比值=后项 比 值×后项=前项

比 的前项、后项、比值三者中，已知任意两项都可以求出第三项。

2. _求比值

1. 前项 ÷ 后项 = 比值

2. 前项 ÷ 比值 = 后项

（3）比值 × 后项 = 前项

_{知识精讲3：}

1.比的基本性质

（1）商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

（2）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。

（3）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

a : b = （a×c）:（b×c）= a : b

a : b = （a÷c）:（b÷c）= a : b （c≠0）

2.化简比

（1）最简整数比：比的前项和后项都是整数，且只有公因数1的比。

（2）整数比→最简整数比：比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。

①先化成整数比（前项和后项同时乘分母的最小公倍数），

（3）分数比→最简整数比： 再化成最简整数比。

②先求比值（前项除以后项），再将结果写成比的形式。

（4）小数比→最简整数比：先化成整数比（前项和后项同时乘不为0的数），

再化成最简整数比。

（5）一个比中既有小数又有分数，可以把小数化成分数，也可以把分数化成小数，

再按照上述方法化成最简整数比。

奥数思维拓展：

用找中间量法解决连比问题

1、渗透两种数学思想：归纳、推理。

2、学习两种思维方法：找中间量法、转化法。

[例]甲数与乙数的比是3:8，乙数与丙数的比是6:5，甲、乙、丙三个数的比是多少？

[分析]

1. 甲、乙、丙三个数的中间量是乙数，在两个比中，乙所占的份数不同，乙数在甲数与乙数的比中占8份，在乙数与丙数的比中占6份。

2. 因为8和6的最小公倍数是24，所以只要把第一个比的后项和第二个比的前项都化为24，就能将两个比合并成连比。

[解答]

8和6的最小公倍数是24。

甲数与乙数的比是3:8＝9:24

乙数与丙数的比是6:5＝24:20

甲数：乙数：丙数＝9:24:20

答：甲、乙、丙三个数的比是9:24:20。

[技巧]

用找中间量法解决多比合并成连比的问题，恰当地运用了比的基本性质，简便易懂。

[举一反三]

1、甲、乙两校图书馆图书本数比是7:5，乙、丙两校图书馆图书本数比是3:4，甲、乙、丙三个学校图书馆图书本数的比是多少？

2、科技组与作文组的人数比是9:10，作文组与数学组的人数比是5:7，已知三个小组共有132人，各小组分别有多少人？

3、科技组与作文组的人数比是9:10，作文组与数学组的人数比是5:7，已知数学组与科技组共有69人，各小组分别有多少人？

比的应用

知识精讲：

按一定比例分配问题的解题方法：

1. 把比看作分得的份数，先求出每份是多少，在解答。即为：

求 出总份数 求出每份是多少 求出各部分对应的具体数量

2. 转化成分数乘法来解答：

先 根据比求出 在求出各部分量占 求出各部分对

总份数 总分数的几分之几 应的具体数量

奥数思维拓展：

比的应用：

1. 渗透两种数学思想：数形结合、化归。

2. 学习两种思维方法：数形结合法、转化法。

[例]某粮店新运进一批粮食，小米和大米的袋数比是3：4，小米比大米少20袋，小米和大米一共运进多少袋？

[分析]

1. 画线段图理解题意

把小米和大米的总袋数看作单位“1”，平均分成3＋4＝7（份），小米占3份，大米占4份。小米比大米少4－3＝1（份），正好是20袋。

20袋

？袋

2. 思路分析：

思 路一：3：4 小米、大米各占总袋数的几分之几 20袋是总袋数的几分之几 总袋数

思 路二：3：4 小米、大米各占几份 小米比大米少几份 每份多少袋 总袋数

[解答]

解法1： 解法2：

总份数：3＋4＝7 小米比大米少的份数：4－3＝1

总袋数：20÷（ － ） 每份袋数：20÷1＝20（袋）

＝140（袋） 总袋数：20×（3＋4）＝140（袋）

[技巧]

已知两个量的比与它们的差，求各个部分量或总量，可以转化为分数除法问题，也可以直接作为份数问题解决，解法不唯一。

[举一反三]

1、小强读一本书，已经读的页数和未读的页数的比是3:2，且已经读的页数比未读的页数多30页，这本书一共有多少页？

2. 果园里有苹果树和梨树两种果树，苹果树与梨树的棵树比是7:9，已知苹果树比梨树少60棵，果园里共有多少棵果树？

3、李老师用一根长60cm的铁丝围成一个长方形框架，长和宽的比是2:1，已知长比宽多10cm，这个长方形框架的面积是多少？