二次函数

[时间：90分钟　分值：120分]

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的函数是(　A　)

A．y＝－3x　 　　　　B．y＝4x

C．y＝－ D．y＝－x²

【解析】 B，C，D中当x＜0时，y随x的增大而增大．

2．抛物线y＝3(x－1)²＋1的顶点坐标是(　A　)

A．(1，1) B．(－1，1)

C．(－1，－1) D．(1，－1)

【解析】 抛物线y＝a(x－h)²＋k的 顶点坐标为(h，k)．

3．把二次函数y＝－3x²的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数解析式是(　C　)

A．y＝－3(x－2)²＋1

B．y＝－3(x＋2)²－1

C．y＝－3(x－2)²－1

D．y＝－3(x＋2 )²＋1

【解析 】 移动规律是：左加右减，上加下减．

4．对于二次函数y＝2(x＋1)(x－3)，下列说法正确的是(　C　)

A．图象的开口向下

B．当x>1时，y随x的增大而减小

C．当x<1时，y随x的增大而减小

D．图象的对称轴是直线x＝－1

5．图1是反映铅球运动员掷铅球的高度y m与水平距离x m之间的函数关系的图象，其函数解析式为y＝－x²＋x＋，则该运动员此次掷铅球的成绩是(　D　)

图1

A．6 m　　B．12 m　　C．8 m　　D．10 m

【解析】 令y＝0得－x²＋x＋＝0，解得x₁＝10，x₂＝－2(舍去)．

图2

6．二次函数y＝－x²＋2x＋k的部分图象如图2所示，则关于x的一元二次方程－x²＋2x＋k＝0的一个解x₁＝3，另一个解x₂＝(　B　)

A．1 B．－1

C．－2 D．0

7．已知函数y＝－x²＋x＋2，则当y＜0时，自变量x的取值范围是(　A　)

A．x＜－1或x＞2

B．－1＜x＜2

C．x＜－2或x＞1

D．－2＜x＜1

【解析】 当y＝0时，－x²＋x＋2＝0，

(x＋1)(－x＋2)＝0，

x₁＝－1，x₂＝2，

由于函数图象开口向下，

可知当y＜0时，自 变量x的取值范围是x＜－1或x＞2.

8．抛物线图象如图3所示，根据图象，抛物线的解析式可能是(　C　)

图3

A．y＝x²－2x＋3

B．y＝－x²－2x＋3

C．y＝－x²＋2x＋3

D．y＝－x²＋2x－3

【解析】 抛物线图象开口向下，∴a＜0；抛物线图象对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＞0；抛物线图象交y轴于正半轴，∴c＞0，故选C.

9．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax²＋bx＋c的大致图象为(　B　)

10．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象如图4所示，它与x轴的两个交点分别为(－1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b－2a＝0；②abc＜0；③a－2b＋4c＜0；④8a＋c＞0.其中正确的有(　B　)

图4

A．3个 B．2个

C．1个 D．0个

二、填空题(每小题4分，共24分)

11．将二次函数y＝x²－4x＋5化为y＝(x－h)²＋k的形式，则__y＝(x－2)²＋1__．

12．抛物线y＝2(x＋1)²是由抛物线y＝2x²向__左__平移__1__个单位得到的．

13．若二次函数y＝(m＋1)x²＋m²－9的图象经过原点且有最大值，则m＝__－ 3__．

【解析】 ∵二次函数的图象过原点，∴m²－9＝0，解得m＝3或m＝－3，又∵m＋1＜0，∴m＝－3.`

14．顶点为(－2，－5)且过点(1，－14)的抛物线的解析式为__y＝－x²－4x－9__．

【解析】 设y＝a(x＋2)²－5，则a(1＋2)²－5＝－14，解得a＝－1，所以y＝－(x＋2)²－5，即y＝－x²－4x－9.

15．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图5所示，则抛物线的解析式是__y＝－x²＋x__.

图5

【解析】 抛物线的顶点为(20，16)，且过点(0，0)，

设抛物线的解析式为y＝a(x－20)²＋16，

把(0，0)代入得a×400＋16＝0，a＝－.

∴y＝－(x－20)²＋16，即y＝－x²＋x.

16．已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出符合要求的一个二次函数的解析式：__y＝－x²＋1__．

三、解答题(共66分)

17．(10分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．

(1)y＝x²－3x－4；(2)y＝－4x²＋3x.

解：(1 )y＝x²－3x－4＝(x－)²－，开口向上，对称轴x＝，顶点坐标为(，－)；

(2)y＝－4x²＋3x＝－4(x－)²＋，开口向下，对称轴x＝，顶点坐标为(，)．

18．(8分)已知二次函数的图象经过点A(0，－3)， 且顶点P的坐标为(1，－4)．

(1)求这个函数的解析式；

(2)在平面直角坐标系中，画出它的图象．

解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)²－4，将点A(0，－3)代入，得－3＝a(0－1)²－4，解得a＝1，

∴y＝(x－1)²－4，即y＝x²－2x－3.

(2)如图所示：

19．(8分)如图6，二次函数y＝x²＋bx＋c的图象经过A(－1，0)和B(3，0)两点，且交y轴于点C.

(1)试确定b，c的值；

(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△M CD的形状．

图 6

解：(1)将A，B两点坐标代入二次函数的解析式，得

解得b＝－2，c＝－3.

(2)由(1)得二次函数的解析式为y＝x²－2x－3，

配方得y＝x²－2x＋1－4

＝(x－1)²－4，

抛物线的顶点M的坐标为(1，－4)．

令x＝0，得y＝－3，所以C(0，－3)．

由抛物线的对称性可得D(2，－3)，CD＝2，CM＝DM＝，因为CM²＋DM²＝CD²，

所以△MCD是等腰直角三角形．

20．(10分)某商人如果将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大，并求出最大利润．

解：设将售价定为x元时，所赚利润为y元，

则y＝[100－10(x－10)](x－8)

＝(100－10x＋100)(x－8)

＝(200－10x)(x－8)

＝－10x²＋280x－1 600

＝－10(x－14)²＋360，

当x＝14时，y取得最大值360，

故将售价定为14元时，才能使每天所赚的利润最大，最大利润为360元．

21．(10分)如图7，直线l经过A(3，0)，B(0，3)两点，且与二次函数y＝x²＋1的图象在第一象限内相交于点C.求：

(1)△AOC的 面积；

(2)二次函数图象的顶点D与点A，B组成的三角形的面积．

图7

解：(1)设过A，B两点的一次函数解析式为y＝kx＋b，

则解得

∴y＝－x＋3.

由

得或

又点C在第一象限内，∴C(1，2)，

∴S_△AOC＝×OA×2＝×3×2＝3.

(2)∵D(0，1)，

∴S_△ABD＝BD·OA＝×(3－1)×3＝3.

22．(10 分)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房，如图8(1)，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12 m，抛物线拱高为5.6 m.

(1)在如图8(2)所示的平面直角坐标系中，求抛物线的解析式．

(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5 m，高1.6 m，相邻窗户之间的间距均为0.8 m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8 m．请计算最多可安装几扇这样的窗户．

(1)　　　　　　　　　　(2)

图8

解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax²，

∵点B(6，－5.6)在抛物线上，

∴－5.6＝36a，a＝－，

∴抛物线的解析式为y＝－x².

(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为(k，t)．

已知窗户高1.6 m，∴t＝－5.6＋1.6＝－4，

∴－4＝－k²，

解得k₁≈5.07，k₂≈－5.07，

∴CD＝|k|×2＝10.14(m)．

又设最多可安装n扇窗户，则1.5n＋0.8(n＋1)≤10.14，

解得n≤4.06.

即最多可安装4扇窗户．

23．(10分)[2013·安顺]如图9，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于C(0，3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图9

解：(1 )∵抛物线与y轴交于点(0，3)

∴设抛物线的解析式为y＝ax²＋bx＋3(a≠0)

根据题意，得，解得.

所以抛物线的解析式为y＝－x²＋2x＋3.

(2)存在．

由y＝－x²＋2x＋3，得D点的坐标为(1，4)，对称轴为x ＝1.

① 若以CD为底边，则PD＝PC，

设P点的坐标为(x，y)，根据勾股定理，得x²＋(3－y)²＝(x－1)²＋(4－y)²，

即y＝4－x.

又点P(x，y)在抛物线上，

∴4－x＝－x²＋2x＋3，即x²－3x＋1＝0.解得x ＝，

∵<1，应舍去，

∴x＝.

y＝4－x＝.即点P的坐标为(，)．

② 若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时点P的坐标为(2，3)．

∴符合条件的点P的坐标为(，)或(2，3)．