圆

[时间：90分钟　分值：120分]

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．如图1，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则这条弦的弦心距为(　A　)

A．6　　 　B．8　　　 C．10　　 　D．12

图1

图2

2．如图2，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝36°，则∠A的度数为(　D　)

A．36° B．56° C．72° D．144°

3．如图3所示，正三角形ABC内接于圆O，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A，B 重合，则∠BPC等于(　B　)

A．30° B．60° C．90° D．45°

【解析】 本题考查正三角形与圆周角的性质，由△ABC为正三角形得∠CAB＝60°，由圆周角的性质得∠BPC＝∠BAC＝60°.

图3

图4

4．一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为(　B　)

A．16 cm或6 cm B．3 cm或8 cm

C．3 cm D．8 cm

5．如图4，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，若∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于(　B　)

A．45° B．55° C．65° D．70°

6．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，AB＝8 m，∠CAD＝30°，则大棚高度CD约为(　B　)

图5

A．2.0 m B．2.3 m

C．4.6 m D．6.9 m

【解析】 在Rt△ACD中，∵∠CAD＝3 0°，∴CD＝AC，∴AC＝2CD.设CD＝x m，则AC＝2x m，AD＝＝＝x.∵CD⊥AB，∴AD＝AB＝×8＝4(m)，∴x＝4，x＝≈2.3，故选B.

7．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图6所示)，那么B点从开始至结束所经过的路径长度为(　B　)

A. B.

C．4 D．2＋

【解析】 B点经过的路径长度是两条弧长之和，这两条弧所对的圆心角都为120°，所在圆的半径为1，即2×＝π，选B.

图6

图7

8．如图7所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为(　A　)

A.－ B.－2

C.－ D.

9．如图8，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于(　B　)

A．40° B．50°

C．60° D．70°

图8

图9

10．如图9，PA，PB切⊙O于点A，B，PA＝10，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是(　C　)

A．10 B．18 C．20 D．22

二、填空题(每小题4分，共24分)

11．如图10所示，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，若∠C＝∠D＝∠E，则∠A＋∠B＝__135°__.

【解析】 因为AB是直径，∠D＝∠E，所以AC＝BC，且它们的度数为90°，又∠C＝∠D，所以DE的度数也为90°，所以∠A与∠B所对弧 的度数和为180°＋90°＝270°，故∠A＋∠B＝135°.

图10

图11

12．如图11，⊙O是△ABC的外接圆，CD是直径，∠B＝40°，则∠ACD的度数是__50°__．

13．如图12，⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的 最 短距离是__3__cm__．

图12

第13题答图

【解析】 P到圆心O的最短距离即为O到AB的垂线段的长，此时OP⊥AB于P，OP＝＝＝3(cm)．

图13

14．如图13，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径是____．

【解析】 如图，连接OA，OD，过O作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分别为F，G，AB＝CD＝CE＋DE＝1＋3＝4，所以DG＝ AF＝2，OF＝EG＝3－2＝1，所以OA＝＝＝.

图14

15．如图14，CB切⊙O于点B，CA交⊙O于点D且AB为⊙O的直径，点E是ABD 上异于点A、D的一点．若∠C＝40°，则∠E的度数为__40°__．

16.

图15

如图15，△ABC的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是__7.2__．(π≈3.14，结果精确到0.1)

【解析】 由题意可得，AB＝A′B＝＝，

∠ABA′＝90°，

S_扇形BAA′＝＝，

S_△BA′C′＝BC′×A′C′＝3，

则S_阴影＝S_扇形BAA′－S_△BA′C′＝－3≈7.2

故答案为7.2.

三、解答题(共66分)

17．(8分)如图16，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC＝5 cm，弦DE＝8 cm，求直尺的宽．

图16

解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD，

则DM＝DE.

∵DE＝8 cm，∴DM＝4 cm.

在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5 cm，

∴OM＝＝＝3(cm)，

∴直尺的宽度为3 cm.

18．(9分)如图17，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，切点为A，D为⊙O上一点，AD与OC相交于点E，且∠DAB＝∠C.求证：OC∥BD.

图17

证明：∵AC与⊙O相切，

∴AC⊥AB，∴∠DAB＋∠CAE＝90°.

∵∠DAB＝∠C，∴∠C＋∠CAE＝90°，

∴∠CEA＝90°，即OC⊥AD.

又∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD，∴OC∥BD.

19．(9分)如图18，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，直线BD与⊙O相切，∠DAB＝30°.

(1)求∠B的度数；

(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．

图18　　　　　　第19题答图

解：(1)连接OD，

∵直线BD与⊙O相切，∴∠ODB＝90°，

∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADB＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠B＝90°－60°＝30°；

(2)连接CD，∠COD＝∠OAD＋∠ODA＝30°＋30°＝60°，

又OC＝OD∴△OCD是等边三角形，

即：OC＝OD＝CD＝5＝OA，

∵∠ODB＝90°，∠B＝30°，∴OB＝10，

∴AB＝AO＋OB＝5＋10＝15.

20．(10分)如图19，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D.点E为⊙O上一点．连接ED并延长与BC的延长线交于点F，连接AE，BE.若∠BAE＝60°，∠F＝15°.

解答下列问题．

(1)求证：直线FB是⊙O的切线；

(2)若BE＝ cm，则AC＝________cm.

图19

解：(1)∵AB为⊙O直径，

∴∠AEB＝90°.

则在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，

∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－60°＝30°.

∴∠ADE＝∠ABE＝30°.

∴∠FDC＝∠ADE＝30°.

∴∠ACB＝∠FDC＋∠F＝30°＋15°＝45°.

∵AB＝BC，

∴∠CAB＝∠ACB＝45°.

∴∠AB C＝180°－∠CAB－∠ACB＝90°.

∴AB⊥BC，又 ∵AB为⊙O直径，

∴直线FB是⊙O的切线；

(2)2.

21．(10分)如图20所示，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B＝30°，∠D＝30°.

图20

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)若AC＝6，求AD的长．

【解析】 (1)点A在⊙O上，连接OA，只需证明DA⊥OA即可．(2)由已知得∠AOC＝2∠B＝60°，即△AOC为等边三角形，故AO＝AC.在Rt△AOD中，由∠D＝30°，求AD长．

解：(1)证明：如图所示，连接OA.

∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°.

∵∠ D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°，

∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．

(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，

∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6.

∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴OD＝2AO＝12，

∴AD＝＝＝6.

22．(10分)已知⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，连接AB.

(1)如图①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大小；

①

②

图21

(2)如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD＝MA，求∠AMB的大小．

解：(1)∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC＝90°.

又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝65°.

∵MA，MB分别切⊙O于点A，B，

∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，

∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝50°.

(2)如图，连接AD.

∵MA⊥AC，又BD⊥AC，∴BD∥MA.又BD＝MA，

∴四边形MADB是平行四边形．

∵MA＝MB，∴四边形MADB是菱形，

∴AD＝BD.

又AC为直径，BD⊥AC，∴AB＝AD ，∴AB＝AD＝BD，

∴△ABD是等边三角形，∴∠D＝60°，

∴在菱形MADB中，∠AMB＝∠D＝60°.

23．(10分)[2013·锦州]如图22，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE.

(1)求证：BE与⊙O相切；

(2)设OE交⊙O于点F，若DF＝1，BC＝2，求由劣弧BC，线段CE和BE所围成的图形面积S.

图22

解：(1)连接OC.

∵OC＝OB，OD⊥BC，

∴∠COD＝∠BOD.

又∵OC＝OB，OE＝OE，

∴△OCE≌△OBE.

∴∠OCE＝∠OBE.

∵CE切⊙O于点C，

∴OC⊥CE.

∴∠OCE＝90°.

∴∠OBE＝90°.

∴OB⊥BE.

∴BE与⊙O相切．

(2)设⊙O的半径长为r，则OD＝r－1，OB＝r.

∵OC＝OB，OD⊥BC，

∴BD＝BC＝×2＝.

在Rt△OBD中，由勾股定理得(r－1)²＋()²＝r²，解得r＝2.

∴OD＝1，OB＝2.

∴∠BOD＝60°.

在Rt△OBE中，BE＝2.

∴S_△OBE＝×OB×BE＝× 2 ×2＝2.

∵△OCE≌△OBE，

∴S_△OCE＝S_△OBE＝2.

∴S_{四边形OBEC}＝4.

∵∠CO D＝∠BOD，∠BOD＝60°，

∴∠BOC＝120°.

∴S_扇形OBC＝·π·2²＝π.

∴S＝S_{四边形OBEC}－S_扇形OBC＝4－π＝.