27.2.6 相似三角形的性质

基础训练

知识点1 相似三角形对应线段的比

1.两个相似三角形对应高之比为1∶2,那么它们对应中线之比为(　　)

A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5

2.顺次连接三角形三边的中点,所构成的三角形与原三角形对应高的比是(　　)

A.1∶4　　 B.1∶3 　　C.1∶Error: Reference source not found 　　D.1∶2

3.若一个三角形的三边长分别为2 cm,3 cm,4 cm,与它相似的另一个三角形的最短边长为4 cm,则另一个三角形的周长为(　　)

A.14 cm B.18 cm C.22 cm D.26 cm

4.如图,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是(　　)21·cn·jy·com

A.Error: Reference source not found B.Error: Reference source not found C.Error: Reference source not found D.Error: Reference source not found

5.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为2∶3,则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为___________. 21·世纪*教育网

6.如图,△ABC是一块锐角三角形的材料,边BC=60 cm,高AD=40 cm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上,这个正方形零件的边长是__________cm.

7.如果△ABC∽△A'B'C',AB=4,BC=5,AC=6,△A'B'C'的最大边长为15,那么△ABC与△A'B'C'的相似比是__________,△A'B'C'的周长是__________. 21*cnjy*com

8.如图,在▱ABCD中,E是BC边上一点,且BE=Error: Reference source not foundEC,BD,AE交于F点,则△BEF与△AFD的周长之比为__________.【出处：21教育名师】

知识点2 相似三角形面积的比

9.若两个相似三角形的周长比为2∶3,则它们的面积比

是　　　　. 

10.如图,在△ABC中,DE∥BC,Error: Reference source not found=Error: Reference source not found,则下列结论中正确的是(　　)

A.Error: Reference source not found=Error: Reference source not found B.Error: Reference source not found=Error: Reference source not found

C.Error: Reference source not found=Error: Reference source not found D.Error: Reference source not found=Error: Reference source not found

11.如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC,若

S_△BDE∶S_△CDE=1∶3,则S_△DOE∶S_△AOC的值为(　　)

A.Error: Reference source not found B.Error: Reference source not found C.Error: Reference source not found D.Error: Reference source not found

12.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found,

则S_△ADE∶S_四边形BCED等于(　　)

A.1∶Error: Reference source not found B.1∶2 C.1∶8 D.1∶9

13.如图,在△ABC中,两条中线BE,CD相交于点O,则S_△DOE∶S_△COB等于(　　)

A.1∶4 B.2∶3

C.1∶3 D.1∶2

14.两个相似三角形的相似比为2∶3,它们的面积相差25 cm²,求这两个相似三角形的面积.

提升训练

考查角度1 利用相似三角形对应线段的性质进行计算

15.已知△ABC∽△A'B'C',Error: Reference source not found=Error: Reference source not found,AB边上的中线CD=4 cm,

求A'B'边上的中线C'D'.

16.两个相似三角形的相似比为2∶3,它们的周长差为4 cm,求较大三角形的周长.

17.如图,在▱ABCD中,E是AD边的中点,连接BE并延长交CD延长线于点F,求△EDF与△BCF的周长之比.21教育网

考查角度2 利用相似三角形面积的性质进行计算

18.已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为3∶4,

求△ABC与△DEF的面积之比.

19.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AC边的中点,AD,BE相交于点G,若S_△GDE=1,求S_△ABC.2·1·c·n·j·y

20.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found,求S_△ADE∶S_四边形BCED的值.21cnjy.com

21.如图,☉O是△ABC的外接圆,P是☉O外的一点,AM是☉O的直径,∠PAC=∠ABC.

(1)求证:PA是☉O的切线;

(2)连接PB与AC交于点D,与☉O交于点E,F为BD上的一点,若M为Error: Reference source not found的中点,且∠DCF=∠P,求证:Error: Reference source not found = Error: Reference source not found = Error: Reference source not found .【来源：21·世纪·教育·网】

22.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A'B'OC'.抛物线y=-x²+2x+3经过点A,C,A'三点.2-1-c-n-j-y

(1)求A,A',C三点的坐标.

(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△C'OD的面积.

(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点,问点M在何处时,△AMA'的面积最大?最大面积是多少?并写出此时M的坐标.【版权所有：21教育】

参考答案

1.【答案】A　2.【答案】D　3.【答案】B　

4.【答案】C　5.【答案】2∶3

6.【答案】24　7.【答案】2∶5;Error: Reference source not found　8.【答案】1∶3

9.【答案】4∶9　

10.【答案】C　11.【答案】D　12.【答案】C　13.【答案】A

14.解:设这两个相似三角形的面积分别为x cm²和(x+25) cm².

由题意,得

Error: Reference source not found=Error: Reference source not found,即Error: Reference source not found=Error: Reference source not found.∴x=20,x+25=45,

即这两个相似三角形的面积分别为20 cm²和45 cm².

易错总结:相似三角形面积的比等于相似比的平方,不与相似比相等,这一点容易出错.

15.解:∵△ABC∽△A'B'C',CD是AB边上的中线,C'D'是A'B'边上的中线,

∴Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found.又∵CD=4 cm,∴C'D'=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found×4=6(cm).

即A'B'边上的中线C'D'的长为6 cm.

16.解:由相似比可知两相似三角形的周长比为2∶3,设这两个三角形的周长分别为2x cm,3x cm,则3x-2x=4,解得x=4,则3x=3×4=12.故较大三角形的周长为12 cm.21世纪教育网版权所有

17.解:因为E是AD边的中点,所以AD=2DE,所以Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC,所以△EDF∽△BCF,所以△EDF与△BCF的周长之比为1∶2.www.21-cn-jy.com

18.解:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方.因为△ABC与△DEF的相似比为3∶4,所以△ABC与△DEF的面积之比为3²∶4²,即9∶16.www-2-1-cnjy-com

19.解:∵点D,E分别是BC,AC的中点,

∴DE∥AB,DE=Error: Reference source not foundAB.

∴△AGB∽△DGE.

∴Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=2²=4.∴S_△ABG=4.

∵△AGE与△GDE同高,∴Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=2,

∴S_△AGE=2.

同理可得S_△GBD=2,∴S_{四边形ABDE}=4+2+2+1=9.

∵DE∥AB,∴△EDC∽△ABC,设S_△ABC=x,

则Error: Reference source not found=Error: Reference source not found,得x=12,即S_△ABC=12.

点拨:遇到面积关系问题时,若两三角形相似,则面积比等于相似比的平方;若两三角形不相似但同底或同高,则同高(同底)的两三角形面积比等于底(高)的比.【来源：21cnj*y.co*m】

20.解:因为Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found,∠A=∠A,所以△AED∽△ABC,所以Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found,所以S_△ABC=4S_△AED,S_{四边形BCED}=S_△ABC-S_△AED=3S_△AED,所以S_△ADE∶S_{四边形BCED}=1∶3=Error: Reference source not found.

21.证明:(1) 如图,连接CM.

∵∠PAC=∠ABC,∠M=∠ABC,

∴∠PAC=∠M.

∵AM为直径,

∴∠M+∠MAC=90°.

∴∠PAC+∠MAC=90°,

即∠MAP=90°.

∴MA⊥AP.

∴PA是☉O的切线.

(2) 如图,连接AE.

∵M为Error: Reference source not found中点,AM为☉O的直径,

∴AM⊥BC.

∵AM⊥AP,

∴AP∥BC.

∴△ADP∽△CDB.

∴Error: Reference source not found = Error: Reference source not found .

∵AP∥BC,

∴∠P=∠CBD.

∵∠CBD=∠CAE,

∴∠P=∠CAE.

∵∠P=∠DCF,

∴∠DCF=∠CAE.

又∵∠ADE=∠CDF,∴△ADE∽△CDF.

∴Error: Reference source not found = Error: Reference source not found,∴Error: Reference source not found = Error: Reference source not found = Error: Reference source not found.

22.解:(1)当y=0时,-x²+2x+3=0,

解得x₁=3,x₂=-1.

∴C(-1,0),A'(3,0).当x=0时,y=3.∴A(0,3).

(2)∵C(-1,0),A(0,3),

∴B(1,3).

∴OB=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found.

∴△AOB的面积为S=Error: Reference source not found×1×3=Error: Reference source not found.

又∵平行四边形ABOC旋转90°得平行四边形A'B'OC',

∴∠ACO=∠OC'D.

∵∠ACO=∠ABO,

∴∠ABO=∠OC'D.

又∵∠C'OD=∠BOA,

∴△C'OD∽△BOA.

∴Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found=Error: Reference source not found.

∴S_△C'OD=Error: Reference source not found.

(3)如图,设M点的坐标为(m,-m²+2m+3),连接AM,A'M,AA',OM.

S_△AMA'=S_△OA'M+S_△OAM-

S_△AOA'=Error: Reference source not found×3×(-m²+2m+3)+Error: Reference source not found×3×m-Error: Reference source not found×3×3=-Error: Reference source not foundm²+Error: Reference source not foundm(0<m<3).

当m=Error: Reference source not found时,S_△AMA'取到最大值,为Error: Reference source not found.

此时M的坐标为Error: Reference source not found.