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[学业达标]
一、选择题
1．下列不等式：①x2>0；②－x2－x≤5；③ax2>2；④x3＋5x－6>0；⑤mx2－5y<0；⑥ax2＋bx＋c>0.
其中是一元二次不等式的有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
【解析】 根据一元二次不等式的定义知①②正确．
【答案】 D
2．(2015·开封高二检测)二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A. B.
C. D.
【解析】 结合二次函数的图象(略)，可知若ax2＋bx＋c<0，则
【答案】 D
3．已知不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，则a，b的值等于( )
A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1
C．a＝－1，b＝2 D．a＝－2，b＝1
【解析】 因为不等式ax2＋3x－2>0的解集为{x|1<x<b}，所以方程ax2＋3x－2＝0的两个根分别为1和b，根据根与系数的关系，得1＋b＝－，b＝－，所以a＝－1，b＝2.
【答案】 C
4．(2016·晋江高二检测)若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(x)的图象为( )
【解析】 因为不等式的解集为(－2,1)，所以a<0，排除C，D，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.
【答案】 B
5．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1<x<－lg 2}
C．{x|x>－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
【解析】 由题意知，一元二次不等式f(x)>0的解集为.
而f(10x)>0，
∴－1<10x<，
解得x<lg ，即x<－lg 2.
【答案】 D
二、填空题
6．(2015·广东高考)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)
【解析】 由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1.
【答案】 (－4,1)
7．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是________. 【导学号：05920075】
【解析】 f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，
解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，
解得－3<x<0.
所以f(x)>f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．
【答案】 (－3,1)∪(3，＋∞)
8．已知集合A＝{x|3x－2－x2<0}，B＝{x|x－a<0}，且B⊆A，则a的取值范围为________．
【解析】 A＝{x|3x－2－x2<0}＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，B＝{x|x<a}．
若B⊆A，如图，则a≤1.
【答案】 (－∞，1]
三、解答题
9．求下列不等式的解集：
(1)x2－5x＋6>0；
(2)－x2＋3x－5>0.
【解】 (1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x>3，或x<2}．
(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.
10．解关于x的不等式x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.
【解】 ∵原不等式等价于(x－m)(x－m－1)<0，
∴方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0的两根分别为m与m＋1.
又∵m<m＋1.
∴原不等式的解集为{x|m<x<m＋1}．
[能力提升]
1．已知0<a<1，关于x的不等式(x－a)>0的解集为( )
A.
B．{x|x>a}
C.
D.
【解析】 方程两根为x1＝a，x2＝，
∵0<a<1，
∴>a.相应的二次函数图象开口向上，故原不等式的解集为.
【答案】 A
2．设0<b<1＋a.若关于x的不等式(x－b)2>(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则a的取值范围为( )
A．[1,3) B．(1,3)
C．(－∞，1) D．(3，＋∞)
【解析】 原不等式转化为[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0.①当a≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a>1时，<x<，由题意知0<<1，∴要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤<－2.整理，得2a－2<b≤3a－3.结合题意b<1＋a，有2a－2<1＋a.∴a<3，从而有1<a<3.综上可得a∈(1,3)．
【答案】 B
3．(2015·江苏高考)不等式2x2－x＜4的解集为______．
【解析】 ∵2x2－x＜4，
∴2x2－x＜22，
∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，
∴－1＜x＜2.
【答案】 {x|－1＜x＜2}
4．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
【解】 原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，
所以a<－1或a>.
若a<－1，则－2a＋3－＝(－a＋1)>5，
所以3－2a>，
此时不等式的解集是；
若a>，由－2a＋3－＝(－a＋1)<－，
所以3－2a<，
此时不等式的解集是.
综上，当a<－1时，原不等式的解集为，当a>时，原不等式的解集为.