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学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦点坐标是( )
A．(±4,0) B．(0，±4)
C．(±3,0) D．(0，±3)
【解析】 根据椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在y轴上，所以对应的焦点坐标为(0，±3)，故选D.
【答案】 D
2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<－2
C．a>3或a<－2 D．a>3或－6<a<－2
【解析】 由a2>a＋6>0，得
所以所以a>3或－6<a<－2.
【答案】 D
3．已知a＝，c＝2，则该椭圆的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋y2＝1
D.＋y2＝1或x2＋＝1
【解析】 a＝，c＝2，
∴b2＝()2－(2)2＝1，
a2＝13，而由于焦点不确定，
∴D正确．
【答案】 D
4．已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线，垂足为P′，则PP′的中点M的轨迹方程是( )
A．4x2＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
【解析】 设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0.
∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1.①
将x0＝2x，y0＝y代入方程①，
得4x2＋y2＝1.
故选A.
【答案】 A
5．椭圆＋＝1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2 B．4
C．8 D.
【解析】 如图，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，则ON是△F1MF2的中位线，
∴|ON|＝|MF2|，
又|MF1|＝2，|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，
∴|MF2|＝8，∴|ON|＝4.
【答案】 B
二、填空题
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
【解析】 当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，
∴c＝1.
∴m－4＝1，m＝5.
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，∴m＝3.
【答案】 3或5
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________. 【导学号：26160032】
【解析】 法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有
解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，故椭圆C的标准方程为＋＝1.
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
【答案】 ＋＝1
8．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
【解析】 由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2.
在△PF1F2中，
cos ∠F1PF2＝＝－.
∴∠F1PF2＝120°.
【答案】 2 120°
三、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)椭圆上一点P(3,2)到两焦点的距离之和为8；
(2)椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9或15.
【解】 (1)①若焦点在x轴上，可设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由题意知2a＝8，∴a＝4，
又点P(3,2)在椭圆上，
∴＋＝1，得b2＝.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
②若焦点在y轴上，设椭圆标准方程为
＋＝1(a>b>0)．
∵2a＝8，∴a＝4，
又点P(3,2)在椭圆上，
∴＋＝1，得b2＝12.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
由①②知椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(2)由题意知，2c＝16,2a＝9＋15＝24，
∴a＝12，c＝8，b2＝80.
又焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，
∴所求方程为＋＝1或＋＝1.
10．已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长为18，求这个三角形顶点A的轨迹方程．
【解】 以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系．
由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4,0)．
由|AB|＋|BC|＋|AC|＝18，
得|AB|＋|AC|＝10＞|BC|＝8.
因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a＝10，即a＝5，且点A不能在x轴上．
由a＝5，c＝4，得b2＝9.
所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
[能力提升]
1．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
【解析】 由已知2c＝|F1F2|＝2，
∴c＝.
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝9.
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.
故选B.
【答案】 B
2．(2016·银川高二检测)已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【解析】 设A为椭圆的左焦点，而BC边过右焦点F，如图．可知|BA|＋|BF|＝2a，|CA|＋|CF|＝2a，两式相加得|AB|＋|BF|＋|CA|＋|CF|＝|AB|＋|AC|＋|BC|＝4a.而椭圆标准方程为＋y2＝1，因此a＝2，故4a＝8，故选C.
【答案】 C
3．(2016·苏州高二检测)P为椭圆＋＝1上一点，左、右焦点分别为F1，F2，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
【解析】 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由椭圆定义，得r1＋r2＝20.①
由余弦定理，得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos 60°，
即r＋r－r1r2＝144，②
由①2－②，得3r1r2＝256，
∴S△PF1F2＝r1r2sin 60°＝××＝.
【答案】
4．(2016·南京高二检测)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且BF1＝λCF1，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.
【导学号：26160033】
【解】 (1)因为椭圆的方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
即|F1F2|＝2，
又因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝4，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时取“＝”，
所以|PF1|·|PF2|的最大值为4，即|PF1|·|PF2|的最大值为4.
(2)设C(x0，y0)，B(0，－1)，F1(－，0)，由BF1＝λCF1得x0＝，y0＝－.
又＋y＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，
解得λ＝－7或λ＝1，又BF1与CF1方向相反，故λ＝1舍去，即λ＝－7.
(3)因为|PF1|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，
所以△PBF1的周长≤4＋|BF2|＋|BF1|＝8，
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.