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第一章　常用逻辑用语(A)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．下列语句中是命题的是(　　)

A．梯形是四边形 B．作直线AB

C．x是整数 D．今天会下雪吗？

2．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(　　)

A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

3．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是(　　)

A．3 B．2 C．1 D．0

4．设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的(　　)

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x²＝1的解x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．在△ABC中，“A>30°”是“sin A>”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

7．若p：a∈R，|a|<1，q：x的二次方程x²＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8．已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x²，则綈p是綈q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

9．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x²＋2x＋a)的定义域为R，命题q：|x|<1是x<a的充分不必要条件，则(　　)

A．“p或q”为真命题

B．“p且q”为假命题

C．“綈p且q”为真命题

D．“綈p或綈q”为真命题

10．“a和b都不是偶数”的否定形式是(　　)

A．a和b至少有一个是偶数

B．a和b至多有一个是偶数

C．a是偶数，b不是偶数

D．a和b都是偶数

11．不等式(a－2)x²＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，那么a的取值范围是(　　)

A．(－2,2) B．(－2,2]

C．(－∞，2] D．(－∞，－2)

12．已知命题p：存在x∈R，使tan x＝，命题q：x²－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题，其中正确的是(　　)

A．②③ B．①②④

C．①③④ D．①②③④

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知α、β是不同的两个平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b无公共点；命题q：α∥β，则p是q的__________条件．

14．命题“ax²－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是__________．

15．若p：“平行四边形一定是菱形”，则“非p”为________________．

16．下列四个命题中

①“k＝1”是“函数y＝cos²kx－sin²kx的最小正周期为π”的充要条件；

②“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”的充要条件；

③函数y＝的最小值为2.

其中是假命题的为________(将你认为是假命题的序号都填上)

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．

(1)正方形是矩形又是菱形；

(2)同弧所对的圆周角不相等；

(3)方程x²－x＋1＝0有两个实根．

18．(12分)判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

19.(12分)已知p：≤2；q：x²－2x＋1－m²≤0 (m>0)，若綈p是綈q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．

20．(12分)已知方程x²＋(2k－1)x＋k²＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

21.(12分)p：对任意实数x都有ax²＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x²－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

22．(12分)已知下列三个方程：x²＋4ax－4a＋3＝0，x²＋(a－1)x＋a²＝0，x²＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．

单元检测卷答案解析

第一章　常用逻辑用语(A)

1．A

2．A　[因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为，“若a，b 都小于1，则a＋b<2”显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为：“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3.]

3．C

4．A　[“x∈M，或x∈P”不能推出“x∈M∩P”，反之可以．]

5．C　[①中有“且”；②中没有；③中有“非”；④中有“或”．]

6．B　[当A＝170°时，sin 170°＝sin 10°<，所以“过不去”；但是在△ABC中，sin A>⇒30°<A<150°⇒A>30°，即“回得来”．]

7．A　[a∈R，|a|<1⇒a－2<0，充分成立，反之不成立．]

8．A　[綈p：|x＋1|≤2，－3≤x≤1，綈q：5x－6≤x²，

即x²－5x＋6≥0，解得x≥3，或x≤2.

∴綈p⇒綈q，但綈q 綈p，故綈p是綈q的充分不必要条件．]

9．A　[命题p：当a>1时，Δ＝4－4a<0，即x²＋2x＋a>0恒成立，故函数y＝log(x²＋2x＋a)的定义域为R，即命题p是真命题；命题q：当a>1时，由|x|<1，得－1<x<1，即|x|<1是x<a的充分不必要条件，故命题q也是真命题．所以命题“p或q”是真命题．]

10．A　[对“a和b都不是偶数”的否定为“a和b不都不是偶数”，等价于“a和b中至少有一个是偶数”．]

11．B　[注意二次项系数为零也可以．]

12．D　[∵p、q都是真命题，∴①②③④均正确．]

13．必要不充分

解析　q⇒p，p q.

14．[－3,0]

解析　ax²－2ax－3≤0恒成立，

当a＝0时，－3≤0成立；

当a≠0时，得－3≤a<0；

∴－3≤a≤0.

15．平行四边形不一定是菱形；或至少有一个平行四边形不是菱形

解析　本题考查复合命题“非p”的形式，p：“平行四边形一定是菱形”是假命题，这里“一定是”的否定是用“一定不是”还是“不一定是”？若为“平行四边形一定不是菱形”仍为假命题，与真值表相违，故原命题的“非p”为“平行四边形不一定是菱形”，是一个真命题．

第二种说法是命题是全称命题的简写形式，应用规则变化即可．

16．①②③

解析　①“k＝1”可以推出“函数y＝cos²kx－sin²kx的最小正周期为π”，但是函数y＝cos²kx－sin²kx的最小正周期为π，即y＝cos 2kx，T＝＝π，k＝±1.

②“a＝3”不能推出“直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7相互垂直”，反之垂直推出a＝；

③函数y＝＝＝＋，令＝t，t≥，y_min＝＋＝.

17．解　(1)若一个四边形是正方形，则它既是矩形，又是菱形，为真命题．

(2)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等，为假命题．

(3)如果一个方程为x²－x＋1＝0，则这个方程有两个实数根，为假命题．

18．解　方法一　(直接法)

逆否命题：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集为空集．

判断如下：

二次函数y＝x²＋(2a＋1)x＋a²＋2图象的开口向上，

判别式Δ＝(2a＋1)²－4(a²＋2)＝4a－7.

∵a<1，∴4a－7<0.

即二次函数y＝x²＋(2a＋1)x＋a²＋2与x轴无交点，

∴关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．

方法二　(先判断原命题的真假)

∵a、x为实数，且关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0的解集非空，

∴Δ＝(2a＋1)²－4(a²＋2)≥0，

即4a－7≥0，解得a≥，

∵a≥>1，∴原命题为真．

又∵原命题与其逆否命题等价，∴逆否命题为真．

方法三　(利用集合的包含关系求解)

命题p：关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0有非空解集．

命题q：a≥1.

∴p：A＝{a|关于x的不等式x²＋(2a＋1)x＋a²＋2≤0有实数解}＝{a|(2a＋1)²－4(a²＋2)≥0}＝，

q：B＝{a|a≥1}．

∵A⊆B，∴“若p，则q”为真，

∴“若p，则q”的逆否命题“若綈q，则綈p”为真．

即原命题的逆否命题为真．

19．解　綈p：>2，解得x<－2，或x>10，

A＝{x|x<－2，或x>10}．

綈q：x²－2x＋1－m²>0，解得x<1－m，或x>1＋m，

B＝{x|x<1－m，或x>1＋m}．

∵綈p是綈q的必要非充分条件，∴B A，

即且等号不能同时成立⇒m≥9，

∴m≥9.

20．解　令f(x)＝x²＋(2k－1)x＋k²，方程有两个大于1的实数根⇔，

即k<－2.

所以其充要条件为k<－2.

21．解　对任意实数x都有ax²＋ax＋1>0恒成立⇔a＝0或⇔0≤a<4；

关于x的方程x²－x＋a＝0有实数根⇔1－4a≥0

⇔a≤；如果p真，且q假，有0≤a<4，且a>，

∴<a<4；如果q真，且p假，有a<0或a≥4，

且a≤，∴a<0.

综上，实数a的取值范围为(－∞，0)∪.

22．解　假设三个方程：x²＋4ax－4a＋3＝0，

x²＋(a－1)x＋a²＝0，x²＋2ax－2a＝0都没有实数根，则，

即得－<a<－1.

∴所求实数a的范围是a≤－或a≥－1.