高中同步测试卷(九)

专题二　万有引力定律的综合应用

(时间：90分钟，满分：100分)

一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．)

1．当月球只有部分进入地球的本影时，就会出现月偏食．设月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，月球表面的重力加速度大小为g₁，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g₂，则(　　)

A．g₁＝a B．g₂＝a

C．g₁＋g₂＝a D．g₂－g₁＝a

2．西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星的轨道半径为2.8×10⁷ m．它与另一颗同质量的同步轨道卫星(轨道半径为4.2×10⁷ m)相比(　　)

A．向心力较小 B．速度较大

C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小

3．为了研究太阳演化的进程需知太阳的质量，已知地球的半径为R，地球的质量为m，日地中心的距离为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为(　　)

A. B.

C. D.

4 ．(2016·高考四川卷)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km，远地点高度约为2 060 km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a₁，东方红二号的加速度为a₂，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a₃，则a₁、a₂、a₃的大小关系为(　　)

A．a₂＞a₁＞a₃ B．a₃＞a₂＞a₁

C．a₃＞a₁＞a₂ D．a₁＞a₂＞a₃

5．美国NASA“开普勒”任务天文学家披露，在太阳系外发现两颗“地球”或有生命存在．可能存在生命的行星“开普勒22b”，它与地球相隔600光年，半径约为地球半径的2.4倍．“开普勒22b”绕恒星“开普勒22”运动的周期为290天，轨道半径为R₁，地球绕太阳运动的轨道半径为R₂，测得R₁∶R₂＝0.85.由上述信息可知，恒星“开普勒22”与太阳的质量之比约为 (　　)

A．0.1 B．1

C．10 D．100

6．太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球绕太阳公转速率的7倍，其轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的2×10⁹倍．为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系的所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳的质量，则银河系中恒星的数目约为(　　)

A．10⁹个 B．10¹¹个

C．10¹³个 D．10¹⁵个

7．关于人造地球卫星，下列说法正确的是(　　)

A．运行的轨道半径越大，线速度也越大

B．运行的速率可能等于8 km/s

C．运行的轨道半径越大，在地面所需要的发射速度越大

D．运行的轨道半径越大，在地面所需要的发射速度越小

二、多项选择题(本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．)

8.如图所示，“神舟十号”与“天宫一号”在离地面一定高度的同一轨道上绕地球做匀速圆周运动时(　　)

A．运行周期相同 B．都处于平衡状态

C．向心力相同 D．飞行速度都小于第一宇宙速度

9．2015年人类首次拍摄到冥王星的高清图片，为进一步探索太阳系提供了宝贵的资料，冥王星已被排除在地球等八大行星行列之外，它属于“矮行星”，表面温度很低，上面绝大多数物质只能是固态或液态，已知冥王星的质量远小于地球的质量，绕太阳运行的公转半径远大于地球的公转半径．根据以上信息可以确定(　　)

A．冥王星公转的周期一定大于地球的公转周期

B．冥王星的公转速度一定小于地球的公转速度

C．冥王星表面的重力加速度一定小于地球表面的重力加速度

D．冥王星上的第一宇宙速度一定小于地球上的第一宇宙速度

10．“嫦娥二号”绕月卫星新开辟了地月之间的“直航航线”，即直接发射至地月转移轨道，再进入距月面约h＝1×10⁵ m的圆形工作轨道，开始进行科学探测活动．设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g_月，万有引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)

A．由题目条件可知月球的平均密度为

B．“嫦娥二号”在工作轨道上绕月球运行的周期为2π

C．“嫦娥二号”在工作轨道上的绕行速度为

D．“嫦娥二号”在工作轨道上运行时的向心加速度为g_月

1 1.如图所示为“嫦娥三号”释放出的国产“玉兔”号月球车，若该月球车在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，已知地球半径为R₁，月球半径为R₂，地球表面处的重力加速度为g，则(　　)

A．月球表面处的重力加速度为g

B．月球车内的物体处于完全失重状态

C．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为

D．地球与月球的质量之比为

1 2.“神舟十号”与“天宫一号”的交会对接飞行过程分为远距离导引段、自主控制段、对接段、组合体飞行段和分离撤离段．则下列说法正确的是(　　)

A．在远距离导引段，“神舟十号”应在距“天宫一号”目标飞行器前下方某处

B．在远距离导引段，“神舟十号”应在距“天宫一号”目标飞行器后下方某处

C．在组合体飞行段，“神舟十号”与“天宫一号”绕地球做匀速圆周运动的速度小于 7.9 km/s

D．分离后，“天宫一号”变轨升高至飞行轨道运行时，其速度比在交会对接轨道时大

三、计算题(本题共4小题，共42分．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．)

1 3．(8分)我国计划在2017年前后发射一颗返回式月球软着陆器，进行首次月球样品自动取样并安全返回地球，设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到围绕月球做圆周运动的轨道舱，其过程如图所示，设轨道舱的质量为m，月球表面的重力加速度为g，月球的半径为R，轨道舱到月球中心的距离为r，引力常量为G，则试求：

(1)月球的质量；

(2)轨道舱的速度和周期．

14．(10分)某星球的质量为M，在该星球表面某一倾角为θ的山坡上以初速度v₀平抛一物体，经过时间t该物体落到山坡上．欲使该物体不再落回该星球的表面，求至少应以多大的速度抛出该物体？(不计一切阻力，引力常量为G)

1 5.(12分)已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g₀，不考虑地球自转的影响并假设地球质量分布均匀且密度为ρ₀.假若在地球内部距表面深度为h的某区域存在一半径为r的球形煤炭矿区，设煤炭密度为ρ(小于ρ₀)，则由于该煤炭矿区区域的存在，造成的地球该区域表面重力加速度的变化量的最大值是多少？

1 6．(12分)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

(1)A星体所受合力大小F_A；

(2)B星体所受合力大小F_B；

(3)C星体的轨道半径R_C；

(4)三星体做圆周运动的周期T.

参考答案与解析

1．[导学号94770131]　[解析]选B.根据月球绕地球做匀速圆周运动的向心力由地球引力提供可知，选项B正确．

2．[导学号94770132]　[解析]选B.由F_向＝F_万＝G知，中圆轨道卫星向心力大于同步轨道卫星(G、M、m相同)，故A错误；由v＝ ，R_中<R_同知，中圆轨道卫星速度较大，故B正确；根据能量守恒，卫星发射得越高，发射速度越大，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，因此两卫星的发射速度都大于第一宇宙速度，故C错误；由ω＝ 可知，中圆轨道卫星角速度较大，故D错误．

3．[导学号94770133]　[解析]选A.根据G＝，m′g＝G可得M_日＝，选项A正确．

4．[导学号94770134]　[解析]选D.固定在赤道上的物体随地球自转的周期与同步卫星运行的周期相等，同步卫星做圆周运动的半径大，由a＝r可知，同步卫星做圆周运动的加速度大，即a₂>a₃，B、C项错误；由于东方红二号与东方红一号在各自轨道上运行时受到万有引力，因此有G＝ma，即a＝G，由于东方红二号的轨道半径比东方红一号在远地点时距地高度大，因此有a₁>a₂，A项错误、D项正确．

5．[导学号94770135]　[解析]选B.设恒星“开普勒22”质量为M₁，太阳的质量为M₂，“开普勒22b”质量为m₁，地球质量为m₂，由万有引力定律和牛顿运动定律，G＝m₁R₁，G＝m₂R₂，联立解得，恒星“开普勒22”与太阳的质量之比约为1，选项B正确．

6．[导学号94770136]　[解析]选B.地球绕太阳做圆周运动的向心力由太阳对地球的万有引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律有＝，整理得M＝，太阳绕银河系中心的运动也是由万有引力提供向心力，同理可得M′＝.由题意知v′＝7v，R′＝2×10⁹R，解得M′≈10¹¹M，故B正确．

7．[导学号94770137]　[解析]选C.设地球质量为M，卫星质量为m，卫星在轨道半径为r的轨道上运动＝m，v＝，当轨道半径等于地球半径时，卫星的运行速率最大，卫星的最大运行速率为7.9 km/s.应该指出7.9 km/s是卫星在绕地球做圆周运动时的最大速度，所以选项B错．卫星的轨道半径r越大，线速度越小，选项A错．把卫星发射到离地面越远的轨道上，在地面所需要的发射速度就越大．即选项C正确D错误．

8．[导学号94770138]　[解析]选AD.根据T＝2π可知，选项A正确；“神舟十号”与“天宫一号”都在做匀速圆周运动，不处于平衡状态，选项B错误；“神舟十号”与“天宫一号”质量不同，向心力不同，选项C错误；第一宇宙速度是地球卫星的最大运行速度，“神舟十号”与“天宫一号”的运行速度均小于第一宇宙速度，选项D正确．

9．[导学号94770139]　[解析]选AB.根据＝mr得，T＝，轨道半径越大，周期越大，可知冥王星的公转周期一定大于地球的公转周期，故A正确；根据＝m，可以得到：v＝，半径越大，则速度越小，故B正确；根据G＝mg得，g＝，两者的质量关系已知，但是半径关系未知，无法比较表面的重力加速度，故C错误；根据公式：＝m，则第一宇宙速度为：v＝，两者的质量关系已知，但是半径关系未知，无法比较第一宇宙速度大小，故D错误．

10．[导学号94770140]　[解析]选AD.在月球表面重力与万有引力相等有G＝mg_月可得月球质量M＝，据密度公式可得月球密度ρ＝＝＝，故A正确；根据万有引力提供圆周运动向心力有G＝m(R＋h)可得周期T＝＝，故B错误；根据万有引力提供圆周运动向心力有G＝m可得嫦娥二号绕行速度v＝＝ ，故C错误；根据万有引力提供圆周运动向心力G＝ma可得嫦娥二号在工作轨道上的向心加速度a＝＝g_月，故D正确．

11．[导学号94770141]　[解析] 选AC.重力加速度g＝，故地球表面处的重力加速度与月球表面处的重力加速度之比为G₁∶G₂，故月球表面处的重力加速度为g，故A正确；在月球表面，月球车内的物体受重力和支持力，不是失重，故B错误；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度：v＝，故地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比：＝＝，故C正确；根据g＝，有：M＝，故地球的质量与月球的质量之比为：＝，故D错误．

12．[导学号94770142]　[解析]选BC.在远距离导引段，“神舟十号”位于“天宫一号”的后下方的低轨道上飞行，通过适当加速，“神舟十号”向高处跃升，并追上“天宫一号”与之完成对接，A错，B对．“神舟十号”与“天宫一号”组合体在地球上空数百公里的轨道上运动，线速度小于第一宇宙速度7.9 km/s，C对．分离后，“天宫一号”上升至较高轨道上运动，线速度变小，D错．

13．[导学号94770143]　[解析](1)设月球质量为M，着陆器绕月球表面做圆周运动时有：G＝m′g① (2分)

解得M＝. (1分)

(2)轨道舱距月球中心为r，绕月球做圆周运动，周期为T，速度为v，由牛顿第二定律得

G＝m② (2分)

联立①②式得

v＝R (1分)

T＝＝. (2分)

[答案](1)　(2)R　

14．[导学号94770144]　[解析]由题意可知，是求该星球上的“近地卫星”的绕行速度．设该星球表面处的重力加速度为g，由平抛运动规律可得

tan θ＝y/x，

y＝gt²，x＝v₀t，

联立解得g＝tan θ① (4分)

对于该星球表面上的物体有G＝mg② (1分)

联立①②解得R＝③ (2分)

对于绕该星球做匀速圆周运动的“近地卫星”，

应有mg＝m④ (2分)

联立①③④解得v＝. (1分)

[答案]见解析

15．[导学号94770145]　[解析]根据题意把地球看成由两部分组成即半径为r的球体和剩余部分，则有：

mg₀＝F＋G (4分)

式中F为地球剩余部分对m的作用力；M₁为半径为r的球体质量，应有：

M₁＝πr³ρ₀ (1分)

同理当半径为r的球体空间存在密度为ρ的煤炭时应有：

mg＝F＋G (4分)

M₂＝πr³ρ (1分)

联立解得：Δg＝(ρ₀－ρ)． (2分)

[答案](ρ₀－ρ)

16．[导学号94770146]　[解析](1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为

F_BA＝G＝G＝F_CA，方向如图所示，则合力大小为F_A＝2G. (3分)

(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为

F_AB＝G＝G，

F_CB＝G＝G，方向如图所示．

由F_Bx＝F_ABcos 60°＋F_CB＝2G，F_By＝F_ABsin 60°＝G，可得F_B＝＝G. (3分)

(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，则R_C＝ ，

可得R_C＝a. (3分)

(或由对称性可知OB＝OC＝R_C，cos ∠OBD＝＝＝，得R_C＝a)

(4)三星体运动周期相同，对C星体，由F_C＝F_B＝G＝m²R_C，

可得T＝π . (3分)

[答案](1)2G　(2)G　(3)a　(4)π