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课时自测·当堂达标

1.设a=lg2+lg5,b=e^x(x<0),则a与b的大小关系为　(　　)

A.a>b B.a=b

C.a<b D.无法确定

【解析】选A.因为a=lg2+lg5=lg(2×5)=lg10=1,所以b=e^x<e⁰=1=a.

2.设0<x<1,则a=_{ },b=x+1,c=_{ }中最大的是　(　　)

A.c B.b

C.a D.随x取值不同而不同

【解析】选A.因为x>0,所以(1+x)²=1+2x+x²>2x.所以1+x>_{ }.即b>a.

又c-b=_{ }-(1+x)=_{ }=_{ }=_{ }>0,所以c>b即c>b>a.

3.已知a>0,b>0且a+b=2,则　(　　)

A.a≤_{ } B.ab≥_{ }

C.a²+b²≥2 D.a²+b²≤3

【解析】选C.因为a>0,b>0,所以a+b≥2_{ },所以ab≤1,

a²+b²≥_{ }(a+b)²=2.

4.在平面内有四边形ABCD和点O,满足_{ }+_{ }=_{ }+_{ },则四边形的形状为____.

【解析】由已知_{ }+_{ }=_{ }+_{ }得_{ }-_{ }=_{ }-_{ },

即_{ }=_{ },所以四边形ABCD为平行四边形.

答案:平行四边形

5.设数列{a_n}的前n项和为S_n,满足(3-m)S_n+2ma_n=m+3(n∈N^*).其中m为常数,且m≠-3,m≠0.

(1)求证:数列{a_n}是等比数列.

(2)若数列{a_n}的公比q=f(m),数列{b_n}满足b₁=a₁,b_n=_{ }f(b_n-1)(n∈N^*,n≥2),求证:数列_{ }为等差数列.

【解析】(1)由(3-m)S_n+2ma_n=m+3,得(3-m)S_n+1+2ma_n+1=m+3,两式相减得(3+m)a_n+1=2ma_n,

因为m≠0且m≠-3,

所以_{ }=_{ },

所以数列{a_n}是等比数列.

(2)因为b₁=a₁=1,q=f(m)=_{ },

所以n∈N^*且n≥2时,

b_n=_{ }f(b_n-1)=_{ }·_{ },

b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1,_{ }-_{ }=_{ },

所以数列_{ }是以1为首项,_{ }为公差的等差数列.

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