勾股定理

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.如图,每个小正方形的边长为1,△ABC的三边a,b,c的大小关系是(　　)

A.a<c<b B. a<b< c

C.c<a<b D.c<b<a

2.(2013·南京中考)设边长为3的正方形的对角线长为a,下列关 于a的四种说法:①a是无理数;②a可以用数轴上的一个点来表示;③3<a<4;④a是18的算术平方根.其中,所有正确说法的序号是(　　)

A.①④　 　　　 B.②③

C .①② ④ 　　　 D.①③④[来源:学&科&网]

3.如图中的螺旋由一系列直角三角形组成,则第n个三角形的面积为(　　)

A.n　 　　　 B._{ }

C._{ }　 　　　 D._{ }

二、填空题(每小题4分,共12分)

4.如图所示,数轴上点A所表示的数为a,则a的值是　　　　.

5 .(2013·吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8).以点A为圆心,以AB长为半径画弧,交x正半轴于点C,则点C的坐标为　　　　　　　　.

6.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”.只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出 长度为_{ }的线段　　　　　　　条.

三、解答题(共26分)

7.(8分)在同一直角坐标系中分别描出点A(-3,0),B(2,0),C(1,3),再用线段将这三点首尾顺次连接起来,求△ABC的面积与周长.

8 .(8分)如图所示,在有24个边长为1的小正三角形的网格中,点P是正六边形的一个顶点,以点P为直角顶点作格点直角三角形,(即顶点均在格点上的三角形),请你写出所有可能的直角三角形斜边的长.

【 拓展延伸】

9.(10分)勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系,其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值.如图所示,是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树,树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S₁,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S₂,…,第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S_n.设第一个正方形的边长为1.

请解答下列问题:

(1)S₁=　　　　　　　　　　.

(2)通过探究,用含n的式子表示S_n,则S_n=　　　　.

答案解析

1.【解析】选C.∵AC=_{ }=5=_{ },BC=_{ }=_{ },AB=4=_{ },

∴b>a>c,即c<a<b.

2.【解析】选C.由勾股定理得,正方形的对角线长为a=_{ }=_{ }=3_{ },且4<a<5.所以③错误,其他都正确.

3.【解析】选D.根据勾股定理:

在第一个三角形中:O_{ }=1+1,S₁=1×1÷2 .

在第二个三角形中:O_{ }=O_{ }+1=1+1+1,

S ₂=OA₁×1÷2=_{ }×1÷2.

在第三个三角形中:O_{ }=O_{ }+1=1+1+1+1,

S₃=OA₂×1÷2=_{ }× 1÷2;

…

在第n个三角形中:S_n=_{ }×1÷2=_{ }.[来源:学科网ZXXK]

4.【解析】图中的直角三角形的两直角边为1和2,所以斜边长为_{ }=_{ },所以-1到点A的距离是_{ },那么点A所表示的数为_{ }-1.

答案:_{ }-1

5.【解析】∵点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8),∴AO=6,BO=8,

∴AB=_{ }=10,

∵以点A为 圆心,以AB长为半径画弧,

∴AB=AC=10,∴OC=AC-AO=4,

∵交x正半轴于点C,∴点C的坐标为(4,0).

答案:(4,0)

6 .【解析】如图,由于每个小正方形的边长都为1,那么根据勾股定理容易得到长度为_{ }的线段,然后可以找出所有这样的线段.如图,所有长度为_{ }的线段全部画出,共有8条.[来源:学科网]

答案:8

7.【解析】如图,利用勾股定理得,AC=_{ }=5,BC =_{ }= _{ },

AB=2-(-3)=5,

∴△ABC的周长为A C+BC+AB=5+_{ }+5=10+_{ },面积为_{ }×5×3=_{ }.

8.【解析】通过作图知,以点P为直角的三角形有八种情况,如图,△PCB,△PCA,△PDB,△PDA,△PC'B',△PC'A',△PD'B',△PD'A',均是以点P为直角的直角三角形,且△PCB≌△PC'B',△PCA≌△PC'A',△PDB≌△PD'B',△PDA≌△PD'A',故:

在Rt△PCB中,BC=_{ }=_{ }=2=B'C';

在Rt△PCA中,AC=_{ }=_{ }=_{ }=A'C';

在Rt△PDB中,BD=_{ }=_{ }=_{ }=B'D';

在Rt△PDA中,AD=_{ }=_{ }=4=A'D'.

故所有可能的直角三角形斜边的长为4,2,_{ },_{ }.

9.【解析】(1)∵第一个正方形的边长为1,

∴正方形的面积为1,

又∵直角三角形一个角为30°,

∴三角形的一条直角边为_{ },另一条直角边就是_{ }=_{ },

∴三角形的面积为_{ }×_{ }÷2=_{ },∴S ₁=1+_{ }.

(2)∵第二个正方形的边长为_{ },它的面积就是_{ },也就是第一个正方形面积的_{ },

同理,第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的_{ },[来源:Z_xx_k.Com]

∴S₂=_{ }·_{ },依此类推,S₃=_{ }·_{ }·_{ },即S₃=_{ }· _{ },[来源:Zxxk.Com]

所以S_n=_{ }·_{ }(n为整数).