2016年山东省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．（5分）若复数z满足2z+ =3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（　　）

A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i

2．（5分）设集合A={y|y=2^x，x∈R}，B={x|x²﹣1＜0}，则A∪B=（　　）

A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）

3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）

A．56 B．60 C．120 D．140

4．（5分）若变量x，y满足 ，则x²+y²的最大值是（　　）

A．4 B．9 C．10 D．12

5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）

A． + π B． + π C． + π D．1+ π

6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）函数f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）的最小正周期是（　　）

A． B．π C． D．2π

8．（5分）已知非零向量 ， 满足4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ．若 ⊥（t + ），则实数t的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C． D．﹣

9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x³﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则f（6）=（　　）

A．﹣2 B．1 C．0 D．2

10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）

A．y=sinx B．y=lnx C．y=e^x D．y=x³

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为　 　．

12．（5分）若（ax²+ ）⁵的展开式中x⁵的系数是﹣80，则实数a=　 　．

13．（5分）已知双曲线E： ﹣ =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　 　．

14．（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）²+y²=9相交”发生的概率为　 　．

15．（5分）已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　 　．

三、解答题,：本大题共6小题，共75分.

16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= + ．

（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值．

17．（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．

（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

（Ⅱ）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

18．（12分）已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1．

（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）令c_n= ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

19．（12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

20．（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a∈R．

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．

21．（14分）平面直角坐标系xOy中，椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率是 ，抛物线E：x²=2y的焦点F是C的一个顶点．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．

（i）求证：点M在定直线上；

（ii）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S₁，△PDM的面积为S₂，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标．

2016年山东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．（5分）若复数z满足2z+ =3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（　　）

A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i

【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．

【解答】解：复数z满足2z+ =3﹣2i，

设z=a+bi，

可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．

解得a=1，b=﹣2．

z=1﹣2i．

故选：B．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．

2．（5分）设集合A={y|y=2^x，x∈R}，B={x|x²﹣1＜0}，则A∪B=（　　）

A．（﹣1，1） B．（0，1） C．（﹣1，+∞） D．（0，+∞）

【分析】求解指数函数的值域化简A，求解一元二次不等式化简B，再由并集运算得答案．

【解答】解：∵A={y|y=2^x，x∈R}=（0，+∞），

B={x|x²﹣1＜0}=（﹣1，1），

∴A∪B=（0，+∞）∪（﹣1，1）=（﹣1，+∞）．

故选：C．

【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题．

3．（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）

A．56 B．60 C．120 D．140

【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数．

【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5=0.7，

故自习时间不少于22.5小时的频率为：0.7×200=140，

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目．

4．（5分）若变量x，y满足 ，则x²+y²的最大值是（　　）

A．4 B．9 C．10 D．12

【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x²+y²的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x²+y²的最大值．

【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，

∵A（0，﹣3），C（0，2），

∴|OA|＞|OC|，

联立 ，解得B（3，﹣1）．

∵ ，

∴x²+y²的最大值是10．

故选：C．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．

5．（5分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）

A． + π B． + π C． + π D．1+ π

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，

半球的直径为棱锥的底面对角线，

由棱锥的底底面棱长为1，可得2R= ．

故R= ，故半球的体积为： = π，

棱锥的底面面积为：1，高为1，

故棱锥的体积V= ，

故组合体的体积为： + π，

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

6．（5分）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，反之不成立．

【解答】解：直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”⇒“平面α和平面β相交”，

反之不成立．

∴“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．

7．（5分）函数f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）的最小正周期是（　　）

A． B．π C． D．2π

【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期．

【解答】解：函数f（x）=（ sinx+cosx）（ cosx﹣sinx）=2sin（x+ ）•2cos（x+ ）=2sin（2x+ ），

∴T=π，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难度中档．

8．（5分）已知非零向量 ， 满足4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ．若 ⊥（t + ），则实数t的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C． D．﹣

【分析】若 ⊥（t + ），则 •（t + ）=0，进而可得实数t的值．

【解答】解：∵4| |=3| |，cos＜ ， ＞= ， ⊥（t + ），

∴ •（t + ）=t • + ²=t| |•| |• +| |²=（ ）| |²=0，

解得：t=﹣4，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．

9．（5分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）=x³﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x）；当x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ）．则f（6）=（　　）

A．﹣2 B．1 C．0 D．2

【分析】求得函数的周期为1，再利用当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），得到f（1）=﹣f（﹣1），当x＜0时，f（x）=x³﹣1，得到f（﹣1）=﹣2，即可得出结论．

【解答】解：∵当x＞ 时，f（x+ ）=f（x﹣ ），

∴当x＞ 时，f（x+1）=f（x），即周期为1．

∴f（6）=f（1），

∵当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（1）=﹣f（﹣1），

∵当x＜0时，f（x）=x³﹣1，

∴f（﹣1）=﹣2，

∴f（1）=﹣f（﹣1）=2，

∴f（6）=2．

故选：D．

【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题．

10．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（　　）

A．y=sinx B．y=lnx C．y=e^x D．y=x³

【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．

【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，

则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，

当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；

当y=lnx时，y′= ＞0恒成立，不满足条件；

当y=e^x时，y′=e^x＞0恒成立，不满足条件；

当y=x³时，y′=3x²＞0恒成立，不满足条件；

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为　3　．

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i=1．

第一次执行循环体后：a=1，b=8，不满足条件a＞b，故i=2；

第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件a＞b，故i=3；

第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件a＞b，

故输出的i值为：3，

故答案为：3

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．

12．（5分）若（ax²+ ）⁵的展开式中x⁵的系数是﹣80，则实数a=　﹣2　．

【分析】利用二项展开式的通项公式T_r+1= （ax²）^5﹣r ，化简可得求的x⁵的系数．

【解答】解：（ax²+ ）⁵的展开式的通项公式T_r+1= （ax²）^5﹣r = a^5﹣r ，

令10﹣ =5，解得r=2．

∵（ax²+ ）⁵的展开式中x⁵的系数是﹣80

∴ a³=﹣80，

得a=﹣2．

【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型．

13．（5分）已知双曲线E： ﹣ =1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是　2　．

【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=± ，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由2|AB|=3|BC|，可得a，b，c的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值．

【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b =± ，

由题意可设A（﹣c， ），B（﹣c，﹣ ），C（c，﹣ ），D（c， ），

由2|AB|=3|BC|，可得

2• =3•2c，即为2b²=3ac，

由b²=c²﹣a²，e= ，可得2e²﹣3e﹣2=0，

解得e=2（负的舍去）．

故答案为：2．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．

14．（5分）在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）²+y²=9相交”发生的概率为　 　．

【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．

【解答】解：圆（x﹣5）²+y²=9的圆心为（5，0），半径为3．

圆心到直线y=kx的距离为 ，

要使直线y=kx与圆（x﹣5）²+y²=9相交，则 ＜3，解得﹣ ＜k＜ ．

∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）²+y²=9相交相交的概率为 = ．

故答案为： ．

【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．

15．（5分）已知函数f（x）= ，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是　（3，+∞）　．

【分析】作出函数f（x）= 的图象，依题意，可得4m﹣m²＜m（m＞0），解之即可．

【解答】解：当m＞0时，函数f（x）= 的图象如下：

∵x＞m时，f（x）=x²﹣2mx+4m=（x﹣m）²+4m﹣m²＞4m﹣m²，

∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，

必须4m﹣m²＜m（m＞0），

即m²＞3m（m＞0），

解得m＞3，

∴m的取值范围是（3，+∞），

故答案为：（3，+∞）．

【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m﹣m²＜m是难点，属于中档题．

三、解答题,：本大题共6小题，共75分.

16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）= + ．

（Ⅰ）证明：a+b=2c；

（Ⅱ）求cosC的最小值．

【分析】（Ⅰ）由切化弦公式 ，带入 并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；

（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a²+b²+2ab=4c²，从而得出a²+b²=4c²﹣2ab，并由不等式a²+b²≥2ab得出c²≥ab，也就得到了 ，这样由余弦定理便可得出 ，从而得出cosC的范围，进而便可得出cosC的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）证明：由 得：

；

∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；

∴2sin（A+B）=sinA+sinB；

即sinA+sinB=2sinC（1）；

根据正弦定理， ；

∴ ，带入（1）得： ；

∴a+b=2c；

（Ⅱ）a+b=2c；

∴（a+b）²=a²+b²+2ab=4c²；

∴a²+b²=4c²﹣2ab，且4c²≥4ab，当且仅当a=b时取等号；

又a，b＞0；

∴ ；

∴由余弦定理， = ；

∴cosC的最小值为 ．

【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a²+b²≥2ab的应用，不等式的性质．

17．（12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．

（I）已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

（Ⅱ）已知EF=FB= AC=2 ，AB=BC，求二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

【分析】（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，推导出平面GQH∥平面ABC，由此能证明GH∥平面ABC．

（Ⅱ）由AB=BC，知BO⊥AC，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BC﹣A的余弦值．

【解答】证明：（Ⅰ）取FC中点Q，连结GQ、QH，

∵G、H为EC、FB的中点，

∴GQ ，QH ，

又∵EF∥BO，∴GQ∥BO，

∵QH∩GQ=Q，BC∩BO=B，

∴平面GQH∥平面ABC，

∵GH⊂面GQH，∴GH∥平面ABC．

解：（Ⅱ）∵AB=BC，∴BO⊥AC，

又∵OO′⊥面ABC，

∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO′为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（ ，0，0），C（﹣2 ，0，0），B（0，2 ，0），O′（0，0，3），F（0， ，3），

=（﹣2 ，﹣ ，﹣3）， =（2 ，2 ，0），

由题意可知面ABC的法向量为 =（0，0，3），

设 =（x₀，y₀，z₀）为面FCB的法向量，

则 ，即 ，

取x₀=1，则 =（1，﹣1，﹣ ），

∴cos＜ ， ＞= =﹣ ．

∵二面角F﹣BC﹣A的平面角是锐角，

∴二面角F﹣BC﹣A的余弦值为 ．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

18．（12分）已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n²+8n，{b_n}是等差数列，且a_n=b_n+b_n+1．

（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）令c_n= ，求数列{c_n}的前n项和T_n．

【分析】（Ⅰ）求出数列{a_n}的通项公式，再求数列{b_n}的通项公式；

（Ⅱ）求出数列{c_n}的通项，利用错位相减法求数列{c_n}的前n项和T_n．

【解答】解：（Ⅰ）S_n=3n²+8n，

∴n≥2时，a_n=S_n﹣S_n﹣1=6n+5，

n=1时，a₁=S₁=11，∴a_n=6n+5；

∵a_n=b_n+b_n+1，

∴a_n﹣1=b_n﹣1+b_n，

∴a_n﹣a_n﹣1=b_n+1﹣b_n﹣1．

∴2d=6，

∴d=3，

∵a₁=b₁+b₂，

∴11=2b₁+3，

∴b₁=4，

∴b_n=4+3（n﹣1）=3n+1；

（Ⅱ）c_n= = = = = = = =6（n+1）•2ⁿ，

∴T_n=6[2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ]①，

∴2T_n=6[2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹]②，

①﹣②可得

﹣T_n=6[2•2+2²+2³+…+2ⁿ﹣（n+1）•2ⁿ⁺¹]

=12+6× ﹣6（n+1）•2ⁿ⁺¹

=（﹣6n）•2ⁿ⁺¹=﹣3n•2ⁿ⁺²，

∴T_n=3n•2ⁿ⁺²．

【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．

19．（12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 ，乙每轮猜对的概率是 ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；

（II）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

【分析】（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，进而可得答案；

（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到X的分布列和数学期望．

【解答】解：（I）“星队”至少猜对3个成语包含“甲猜对1个，乙猜对2个”，“甲猜对2个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，

故概率P= + + = + + = ，

（II）“星队”两轮得分之和为X可能为：0，1，2，3，4，6，

则P（X=0）= = ，

P（X=1）=2×[ + ]= ，

P（X=2）= + + + = ，

P（X=3）=2× = ，

P（X=4）=2×[ + ]=

P（X=6）= =

故X的分布列如下图所示：

∴数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× +6× = =

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题．

20．（13分）已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ，a∈R．

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．

【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；

（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）= ．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞ 恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．

【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+ ，

得f′（x）=a（1﹣ ）+

= = （x＞0）．

若a≤0，则ax²﹣2＜0恒成立，

∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（ ，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（1， ）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；

若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；

若a＞2，当x∈（0， ）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（ ，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；