2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x²＜9}，则A∩B=（　　）

A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}

C．{1，2，3} D．{1，2}

2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则 =（　　）

A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i

3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　）

A．y=2sin（2x﹣ ） B．y=2sin（2x﹣ ）

C．y=2sin（x+ ） D．y=2sin（x+ ）

4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）

A．12π B． π C．8π D．4π

5．（5分）设F为抛物线C：y²=4x的焦点，曲线y= （k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（　　）

A． B．1 C． D．2

6．（5分）圆x²+y²﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）

A．﹣ B．﹣ C． D．2

7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．20π B．24π C．28π D．32π

8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（　　）

A． B． C． D．

9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（　　）

A．7 B．12 C．17 D．34

10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10^lgx的定义域和值域相同的是（　　）

A．y=x B．y=lgx C．y=2^x D．y=

11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x²﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_m，y_m），则 x_i=（　　）

A．0 B．m C．2m D．4m

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13．（5分）已知向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，则m=　 　．

14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最小值为　 　．

15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= ，cosC= ，a=1，则b=　 　．

16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是　 　．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）等差数列{a_n}中，a₃+a₄=4，a₅+a₇=6．

（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=[a_n]，求数列{b_n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．

18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；

（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．

19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；

（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．

20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．

（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．

21．（12分）已知A是椭圆E： + =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．

（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积

（II）当2|AM|=|AN|时，证明： ＜k＜2．

请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．

（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；

（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．

[选项4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）²+y²=25．

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l的参数方程是 （t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|= ，求l的斜率．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|x﹣ |+|x+ |，M为不等式f（x）＜2的解集．

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.

1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x²＜9}，则A∩B=（　　）

A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}

C．{1，2，3} D．{1，2}

【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．

【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．

【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|x²＜9}={x|﹣3＜x＜3}，

∴A∩B={1，2}．

故选：D．

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．

2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则 =（　　）

A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i

【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．

【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．

【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，

∴z=3﹣2i，

∴ =3+2i，

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度不大，属于基础题．

3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（　　）

A．y=2sin（2x﹣ ） B．y=2sin（2x﹣ ）

C．y=2sin（x+ ） D．y=2sin（x+ ）

【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．

【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．

【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，

= ，故T=π，ω=2，

故y=2sin（2x+φ），

将（ ，2）代入可得：2sin（ +φ）=2，

则φ=﹣ 满足要求，

故y=2sin（2x﹣ ），

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定各个参数的值是解答的关键．

4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（　　）

A．12π B． π C．8π D．4π

【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5U：球．

【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．

【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，

正方体的体对角线为 =2 ，

即为球的直径，所以半径为 ，

所以球的表面积为 =12π．

故选：A．

【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．

5．（5分）设F为抛物线C：y²=4x的焦点，曲线y= （k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（　　）

A． B．1 C． D．2

【考点】K8：抛物线的性质．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．

【解答】解：抛物线C：y²=4x的焦点F为（1，0），

曲线y= （k＞0）与C交于点P在第一象限，

由PF⊥x轴得：P点横坐标为1，

代入C得：P点纵坐标为2，

故k=2，

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是抛物线的简单性质，反比例函数的性质，难度中档．

6．（5分）圆x²+y²﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（　　）

A．﹣ B．﹣ C． D．2

【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆．

【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．

【解答】解：圆x²+y²﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），

故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d= =1，

解得：a= ，

故选：A．

【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．

7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．20π B．24π C．28π D．32π

【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．

【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2 ，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．

【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，

上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2 ，

∴在轴截面中圆锥的母线长是 =4，

∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，

下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，

∴圆柱表现出来的表面积是π×2²+2π×2×4=20π

∴空间组合体的表面积是28π，

故选：C．

【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．

8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．

【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．

【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，

∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，

∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 = ．

故选：B．

【点评】本题考查概率的计算，考查几何概型，考查学生的计算能力，比较基础．

9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（　　）

A．7 B．12 C．17 D．34

【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：∵输入的x=2，n=2，

当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；

当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；

当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；

故输出的S值为17，

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．

10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10^lgx的定义域和值域相同的是（　　）

A．y=x B．y=lgx C．y=2^x D．y=

【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；4O：定义法；51：函数的性质及应用．

【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．

【解答】解：函数y=10^lgx的定义域和值域均为（0，+∞），

函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；

函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；

函数y=2^x的定义域为R，值域为（0，+∞），不满足要求；

函数y= 的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是函数的定义域和值域，熟练掌握各种基本初等函数的定义域和值域，是解答的关键．

11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）的最大值为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【考点】HW：三角函数的最值．菁优网版权所有

【专题】33：函数思想；4J：换元法；56：三角函数的求值；57：三角函数的图像与性质．

【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin²x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t²+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．

【解答】解：函数f（x）=cos2x+6cos（ ﹣x）

=1﹣2sin²x+6sinx，

令t=sinx（﹣1≤t≤1），

可得函数y=﹣2t²+6t+1

=﹣2（t﹣ ）²+ ，

由 ∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，

即有t=1即x=2kπ+ ，k∈Z时，函数取得最大值5．

故选：B．

【点评】本题考查三角函数的最值的求法，注意运用二倍角公式和诱导公式，同时考查可化为二次函数的最值的求法，属于中档题．

12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x²﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点为（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_m，y_m），则 x_i=（　　）

A．0 B．m C．2m D．4m

【考点】&2：带绝对值的函数；&T：函数迭代；3V：二次函数的性质与图象．菁优网版权所有

【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．

【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=|x²﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．

【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），

故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，

函数y=|x²﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，

故函数y=|x²﹣2x﹣3|与 y=f（x） 图象的交点也关于直线x=1对称，

故 x_i= ×2=m，

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的对称性质，难度中档．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分.

13．（5分）已知向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，则m=　﹣6　．

【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；29：规律型；5A：平面向量及应用．

【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．

【解答】解：向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且 ∥ ，

可得12=﹣2m，解得m=﹣6．

故答案为：﹣6．

【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．

14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最小值为　﹣5　．

【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．

【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，

联立 ，解得B（3，4）．

化目标函数z=x﹣2y为y= x﹣ z，

由图可知，当直线y= x﹣ z过B（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：3﹣2×4=﹣5．

故答案为：﹣5．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA= ，cosC= ，a=1，则b=　 　．

【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有

【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．

【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b= ，代入计算即可得到所求值．

【解答】解：由cosA= ，cosC= ，可得

sinA= = = ，

sinC= = = ，

sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，

由正弦定理可得b=

= = ．

故答案为： ．

【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．

16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是　1和3　．

【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有

【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑．

【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．

【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；

（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；

（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；

又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；

∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；

∴甲的卡片上的数字是1和3．

故答案为：1和3．

【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）等差数列{a_n}中，a₃+a₄=4，a₅+a₇=6．

（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=[a_n]，求数列{b_n}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．

【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．

【分析】（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；

（Ⅱ）根据b_n=[a_n]，列出数列{b_n}的前10项，相加可得答案．

【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，

∵a₃+a₄=4，a₅+a₇=6．

∴ ，

解得： ，

∴a_n= ；

（Ⅱ）∵b_n=[a_n]，

∴b₁=b₂=b₃=1，

b₄=b₅=2，

b₆=b₇=b₈=3，

b₉=b₁₀=4．

故数列{b_n}的前10项和S₁₀=3×1+2×2+3×3+2×4=24．

【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．

18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；

（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．

【考点】B2：简单随机抽样．菁优网版权所有

【专题】11：计算题；29：规律型；5I：概率与统计．

【分析】（I）求出A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；

（Ⅱ）求出B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；

（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．

【解答】解：（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：60+50=110，该险种的200名续保，

P（A）的估计值为： = ；

（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：30+30=60，P（B）的估计值为： = ；

（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为 = =1.1925a．

【点评】本题考查样本估计总体的实际应用，考查计算能力．

19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．

（Ⅰ）证明：AC⊥HD′；

（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE= ，OD′=2 ，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LO：空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有

【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．

【分析】（1）根据直线平行的性质以菱形对角线垂直的性质进行证明即可．

（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高，即可得到结论．

【解答】（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，

∴EF∥AC，且EF⊥BD

将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，

则D′H⊥EF，

∵EF∥AC，

∴AC⊥HD′；

（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，

∵AE= ，AD=AB=5，

∴DE=5﹣ = ，

∵EF∥AC，

∴ = = = = ，

∴EH= ，EF=2EH= ，DH=3，OH=4﹣3=1，

∵HD′=DH=3，OD′=2 ，

∴满足HD′²=OD′²+OH²，

则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，

又OD′⊥AC，AC∩OH=O，

即OD′⊥底面ABCD，

即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．

底面五边形的面积S= + = + =12+ = ，

则五棱锥D′﹣ABCFE体积V= S•OD′= × ×2 = ．

【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的判断，以及空间几何体的体积，根据线面垂直的判定定理以及五棱锥的体积公式是解决本题的关键．本题的难点在于证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．考查学生的运算和推理能力．

20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．

（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；

（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．

【考点】66：简单复合函数的导数．菁优网版权所有

【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；52：导数的概念及应用．

【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；

（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．

【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．

f（1）=0，即点为（1，0），

函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）• ﹣4，

则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，

即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，

则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；

（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），

∴f′（x）=1+ +lnx﹣a，

∴f″（x）= ，

∵x＞1，∴f″（x）＞0，

∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．

①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；

②a＞2，存在x₀∈（1，+∞），f′（x₀）=0，函数f（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，

由f（1）=0，可得存在x₀∈（1，+∞），f（x₀）＜0，不合题意．

综上所述，a≤2．

另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，

可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，

即为a＜ ，

由y= 的导数为y′= ，

由y=x﹣ ﹣2lnx的导数为y′=1+ ﹣ = ＞0，

函数y在x＞1递增，可得 ＞0，

则函数y= 在x＞1递增，

则 = =2，

可得 ＞2恒成立，

即有a≤2．

【点评】本题主要考查了导数的应用，函数的导数与函数的单调性的关系的应用，导数的几何意义，考查参数范围的求解，考查学生分析解决问题的能力，有难度．

21．（12分）已知A是椭圆E： + =1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．