章末综合测评(二)　圆锥曲线与方程

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．抛物线y＝－x²的准线方程是(　　)

A．x＝　　　　　　　 B．y＝2

C．y＝ D．y＝－2

【解析】　将y＝－x²化为标准形式为x²＝－8y，故准线方程为y＝2.

【答案】　B

2．(2015·安徽高考)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　)

A．x²－＝1 B.－y²＝1

C．x²－＝1 D.－y²＝1

【解析】　法一　由渐近线方程为y＝±2x，可得＝±x，所以双曲线的标准方程可以为x²－＝1.

法二　A中的渐近线方程为y＝±2x；B中的渐近线方程为y＝±x；C中的渐近线方程为y＝±x；D中的渐近线方程为y＝±x.故选A.

【答案】　A

3．(2015·湖南高考)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　)

A. B.

C. D.

【解析】　由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，

∴＝.

又b²＝c²－a²，∴＝，

即e²－1＝，∴e²＝，∴e＝.

【答案】　D

4．抛物线y²＝x关于直线x－y＝0对称的抛物线的焦点坐标是(　　) 【导学号：26160065】

A．(1,0) B.

C．(0,1) D.

【解析】　∵y²＝x的焦点坐标为，

∴关于直线y＝x对称后抛物线的焦点为.

【答案】　B

5．设F₁，F₂是双曲线－y²＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F₁PF₂的面积为2时，PF1·PF2的值为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．6

【解析】　设P(x₀，y₀)，又F₁(－2,0)，F₂(2,0)，

∴PF1＝(－2－x₀，－y₀)，PF2＝(2－x₀，－y₀)．|F₁F₂|＝4.

S△PF₁F₂＝|F₁F₂|·|y₀|＝2，

∴|y₀|＝1.又－y＝1，

∴x＝3(y＋1)＝6，∴PF1·PF2＝x＋y－4＝6＋1－4＝3.

【答案】　B

6．(2016·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线y²＝2px(p＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是(　　)

A．2p B．4p

C．6p D．8p

【解析】　设A、B在y²＝2px上，另一个顶点为O，则A、B关于x轴对称，则∠AOx＝30°，则OA的方程为y＝x.由得y＝2p，∴△AOB的边长为4p.

【答案】　B

7．已知|AB|＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，OP＝OA＋OB，则动点P的轨迹方程是(　　)

A.＋y²＝1 B．x²＋＝1

C.＋y²＝1 D．x²＋＝1

【解析】　设P(x，y)，A(0，y₀)，B(x_0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y₀)＋(x_0,0)，即x＝x₀，y＝y₀，所以x₀＝x，y₀＝3y.因为|AB|＝3，所以x＋y＝9，即²＋(3y)²＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是＋y²＝1.

【答案】　A

8．AB为过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的中心的弦F₁为一个焦点，则△ABF₁的最大面积是(c为半焦距)(　　)

A．ac B．ab

C．bc D．b²

【解析】　△ABF₁的面积为c·|y_A|，因此当|y_A|最大，

即|y_A|＝b时，面积最大．故选C.

【答案】　C

9．若F₁，F₂是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF₁F₂＝45°，则△AF₁F₂的面积为(　　)

A．7 B.

C. D.

【解析】　|F₁F₂|＝2，|AF₁|＋|AF₂|＝6，

则|AF₂|＝6－|AF₁|，

|AF₂|²＝|AF₁|²＋|F₁F₂|²－2|AF₁|·|F₁F₂|cos 45°

＝|AF₁|²－4|AF₁|＋8，

即(6－|AF₁|)²＝|AF₁|²－4|AF₁|＋8，

解得|AF₁|＝，

所以S＝××2×＝.

【答案】　B

10．(2015·重庆高考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A₁，A₂，过F作A₁A₂的垂线与双曲线交于B，C两点．若A₁B⊥A₂C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)

A．± B．±

C．±1 D．±

【解析】　由题设易知A₁(－a,0)，A₂(a,0)，B，C.

∵A₁B⊥A₂C，

∴·＝－1，整理得a＝b.

∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，

∴渐近线的斜率为±1.

【答案】　C

11．过抛物线y²＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积是(　　)

A．3 B．2

C. D.

【解析】　如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，

∴点A的横坐标为2.

将x＝2代入y²＝4x得y²＝8，由图知点A的纵坐标y＝2，

∴A(2,2)，

∴直线AF的方程为y＝2(x－1)．

联立直线与抛物线的方程

解之得或

由图知B，

∴S_△AOB＝|OF|·|y_A－y_B|＝×1×|2＋|＝.

【答案】　D

12．已知椭圆C₁：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C₂：x²－＝1有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则(　　)

A．a²＝ B．a²＝13

C．b²＝ D．b²＝2

【解析】　由题意，知a²＝b²＋5，因此椭圆方程为(a²－5)x²＋a²y²＋5a²－a⁴＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a²－5)x²＋5a²－a⁴＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝×2＝a，解得a²＝，b²＝，故选C.

【答案】　C

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13．(2015·北京高考)已知(2,0)是双曲线x²－＝1(b>0)的一个焦点，则b＝________.

【解析】　由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c＝2.根据双曲线的标准方程，可知a²＝1.又c²＝a²＋b²，所以b²＝3.又b>0，所以b＝.

【答案】　

14．设F₁，F₂为曲线C₁：＋＝1的焦点，P是曲线C₂：－y²＝1与C₁的一个交点，则△PF₁F₂的面积为________．

【解析】　由题意知|F₁F₂|＝2＝4，设P点坐标为(x，y)．

由得

则S△PF₁F₂＝|F₁F₂|·|y|＝×4×＝.

【答案】　

15.如图1，已知抛物线y²＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1的右焦点F，且两条曲线的交点连线也经过焦点F，则该椭圆的离心率为________．

图1

【解析】　由条件知，c＝，

∴其中一个交点坐标为(c,2c)，

∴＋＝1，∴e⁴－6e²＋1＝0，

解得e²＝3±2，∴e＝±(±1)．

又0<e<1，故e＝－1.

【答案】　－1

16．(2015·上海高考)已知双曲线C₁、C₂的顶点重合，C₁的方程为－y²＝1，若C₂的一条渐近线的斜率是C₁的一条渐近线的斜率的2倍，则C₂的方程为________．

【解析】　因为C₁的方程为－y²＝1，所以C₁的一条渐近线的斜率k₁＝，所以C₂的一条渐近线的斜率k₂＝1，因为双曲线C₁、C₂的顶点重合，即焦点都在x轴上，

设C₂的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

所以a＝b＝2，所以C₂的方程为－＝1.

【答案】　－＝1

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F₁(0，－5)，F₂(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．

【解】　由共同的焦点F₁(0，－5)，F₂(0,5)，可设椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1(b>0)．

点P(3,4)在椭圆上，则＋＝1，得a²＝40，

双曲线过点P(3,4)的渐近线方程为y＝x，即4＝×3，得b²＝16.

所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.

18．(本小题满分12分)(2016·厦门高二检测)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y²＝8x交于A，B两点，

(1)若|AB|＝10，求m的值；

(2)若OA⊥OB，求m的值．

【解】　设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

(1)⇒x²＋(2m－8)x＋m²＝0

⇒

|AB|＝|x₁－x₂|＝ ＝10，

得m＝，∵m＜2，∴m＝.

(2)∵OA⊥OB，∴x₁x₂＋y₁y₂＝0.

x₁x₂＋(x₁＋m)(x₂＋m)＝0，

2x₁x₂＋m(x₁＋x₂)＋m²＝0，

2m²＋m(8－2m)＋m²＝0，

m²＋8m＝0，m＝0或m＝－8.

经检验m＝－8.

19．(本小题满分12分)已知双曲线过点P，它的渐近线方程为y＝±x.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设F₁和F₂为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF₁|·|PF₂|＝41，求∠F₁PF₂的余弦值．

【解】　(1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－3的点P′的纵坐标的绝对值为4.

∵4>4，∴双曲线的焦点在x轴上，设方程为－＝1.

∵双曲线过点P(－3，4)，

∴－＝1.①

又＝，②

由①②，得a²＝9，b²＝16，

∴所求的双曲线方程为－＝1.

(2)设|PF₁|＝d₁，|PF₂|＝d₂，

则d₁·d₂＝41.又由双曲线的几何性质知，|d₁－d₂|＝2a＝6.

由余弦定理，得cos∠F₁PF₂＝

＝＝.

20．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.

(1)求E的离心率e；

(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB. 【导学号：26160066】

【解】　(1)由题设条件知，点M的坐标为，

又k_OM＝，从而＝.

进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.

(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得NM＝.

又AB＝(－a，b)，

从而有AB·NM＝－a²＋b²＝(5b²－a²)．

由(1)的计算结果可知a²＝5b²，

所以AB·NM＝0，故MN⊥AB.

21．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为b.

(1)求椭圆C的离心率e；

(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x²＋y²＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．

【解】　(1)由点F(－ae,0)，点A(0，b)，及b＝a，得直线FA的方程为＋＝1，即x－ey＋ae＝0.

因为原点O到直线FA的距离为

b＝ae，

所以·a＝ae，

解得e＝.

(2)设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x₀，y₀)，则有

解得x₀＝a，y₀＝a.

因为P在圆x²＋y²＝4上，所以²＋²＝4.

所以a²＝8，b²＝(1－e²)a²＝4.

故椭圆C的方程为＋＝1，

点P的坐标为.

22．(本小题满分12分)(2016·郑州高二检测)已知经过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x²＝2py(p>0)相交于B，C，当直线l的斜率是时，AC＝AB.

(1)求抛物线G的方程；

(2)设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．

【解】　(1)设B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，由已知，当k_l＝时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.

由得2y²－(8＋p)y＋8＝0，

所以又因为AC＝AB，

所以y₂＝y₁或y₁＝4y₂.

由p>0得：y₁＝4，y₂＝1，p＝2，即抛物线方程为x²＝4y.

(2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x₀，y₀)，

由

得x²－4kx－16k＝0.①

所以x₀＝＝2k，y₀＝k(x₀＋4)＝2k²＋4k.

所以BC的中垂线方程为

y－2k²－4k＝－(x－2k)，

所以BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k²＋4k＋2＝2(k＋1)²，

对于方程①由Δ＝16k²＋64k>0得k>0或k<－4.所以b∈(2，＋∞)．