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课时提升作业(五)

补集及综合应用

(25分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知全集U={2,3,4},若集合A={2,3},则A=　(　　)

A.{1} B.{2} C.{3} D.{4}

【解析】选D.因为U={2,3,4},A={2,3},所以A={4}.

2.(2015·汉中高一检测)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5,7}.则A∩(B)等于(　　)

A.{2,4,5} B.{1,3,5}

C.{2,4,6} D.{2,5}

【解析】选C.B={2,4,6},所以A∩(B)={2,4,6}.

3.(2014·辽宁高考)已知全集U=R,A=_{ },B=_{ },则集合

(A∪B)=　(　　)

A._{ } B._{ }

C._{ } D._{ }

【解题指南】可先求并集,再利用数轴求补集.

【解析】选D.由于A∪B=_{ },结合数轴可知,(A∪B)=_{ }.

4.若M⊆U,N⊆U,且M⊆N,则　(　　)

A.M∩N=N B.M∪N=M

C.N⊆M D.M⊆N

【解析】选C.根据已知条件,M,N,U三个集合的关系可用Venn图表示如图:

由图可看出:M∩N=M,M∪N=N,N⊆M,所以C是正确的.

5.(2015·九江高一检测)设集合M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},则(P∪Q)=　(　　)

A.M B.P C.Q D.∅

【解析】选A.集合M={x|x=3k,k∈Z},表示被3整除的整数构成的集合,

P={x|x=3k+1,k∈Z},表示被3除余数为1的整数构成的集合,

Q={x|x=3k-1,k∈Z}={x|x=3n+2,n∈Z},表示被3除余数为2的整数构成的集合,

故P∪Q表示被3除余数为1或余数为2的整数构成的集合,(P∪Q)=M.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.已知全集S={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|x²+y²≠0},用列举法表示集合A是　　　　.

【解题指南】A是指使x²+y²=0的点集.

【解析】A={(x,y)|x²+y²=0}={(0,0)}.

答案:{(0,0)}

【误区警示】解答本题时易将点集看成数集而致错.

7.设U=R,A={x|a≤x≤b},A={x|x<1或x>3},则a=　　　　,b=　　　　.

【解析】因为A={x|a≤x≤b},所以A={x|x<a或x>b},又A={x|x<1或x>3},所以a=1,b=3.

答案:1　3

8.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(B)=R,则实数a的取值范围是　　　　.

【解析】因为B={x|1<x<2},所以B={x|x≥2或x≤1}.如图,若要A∪(B)=R,必有a≥2.

答案:{a|a≥2}

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.(2015·西安高一检测)已知全集U={2,3,a²-2a-3},A={2,|a-7|},A={5},求a的值.

【解析】由|a-7|=3,得a=4或a=10,

当a=4时,a²-2a-3=5,当a=10时,a²-2a-3=77∉U,所以a=4.

【一题多解】由A∪A=U知_{ }

所以a=4.

10.已知全集U=R,集合A={x|x<-1},B={x|2a<x<a+3},且B⊆A,求a的取值范围.

【解析】由题意得A={x|x≥-1}.

(1)若B=∅,则a+3≤2a,即a≥3,满足B⊆A.

(2)若B≠∅,则由B⊆A,得2a≥-1且2a<a+3,

即-_{ }≤a<3.综上可得a≥-_{ }.

(20分钟　40分)

一、选择题(每小题5分,共10分)

1.(2015·郴州高一检测)如图,I是全集,M,P,S是I的子集,则阴影部分所表示的集合是　(　　)

A.(M∩P)∩S　　　　 B.(M∩P)∪S

C.(M∩P)∩(S) D.(M∩P)∪(S)

【解析】选C.由图可见阴影部分所表示的集合在M∩P中,同时又在S的补集S中,故(M∩P)∩(S)为所求,故选C.

【补偿训练】(2014·衡水高一检测)图中阴影部分所表示的集合是　(　　)

A.B∩((A∪C)) B.(A∪B)∪(B∪C)

C.(A∪C)∩(B) D.((A∩C))∪B

【解析】选A.由图可知阴影部分表示的集合为B∩((A∪C)).

【拓展延伸】用集合表示阴影区域的技巧

用集合运算表示阴影区域时,应仔细观察分析阴影区域与各个集合的关系,在两个集合内用“交”,不在某一集合内用“补”,取两部分的和用“并”.

2.设全集U={1,2,3,4,5},集合S与T都是U的子集,满足S∩T={2},(S)∩T={4},(S)∩(T)={1,5},则有　(　　)

A.3∈S,3∈T B.3∈S,3∈T C.3∈S,3∈T D.3∈S,3∈T

【解题指南】解答本题可利用Venn图处理.

【解析】选B.因为S∩T={2},所以2∈S且2∈T,

又(S)∩T=4,所以4∉S,4∈T,又(S)∩(T)={1,5},所以(S∪T)={1,5},所以1,5∉(S∪T),

如图所示,若3∈T,则3∈(S)∩T,与(S)∩T={4}矛盾,所以3∈S,3∈T.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.如果全集U={x|x是自然数},A,B是U的子集,若A={x|x是正奇数},B={x|x是5的倍数},则B∩A=　　　　.

【解析】A={x|x是非负偶数}={0,2,4,6,8,10,…},B={0,5,10,15,…},

B∩A={0,10,20,…}.

答案:{x∈N|x是10的倍数}

4.已知全集U=A∪B中有m个元素,(A)∪(B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为　　　　　　　　.

【解析】因为(A)∪(B)=(A∩B),并且全集U中有m个元素,(A∩B)中有n个元素,所以A∩B中的元素个数为m-n.

答案:m-n

三、解答题(每小题10分,共20分)

5.已知U=R,A={x|x²+px+12=0},B={x|x²-5x+q=0},若(A)∩B={2},

(B)∩A={4},求A∪B.

【解析】由(A)∩B={2},

所以2∈B且2∉A,由A∩(B)={4},

所以4∈A且4∉B,

分别代入得4²+4p+12=0,2²-5×2+q=0,

所以p=-7,q=6;所以A={3,4},B={2,3},

所以A∪B={2,3,4}.

6.设全集U=R,集合A={x|-5<x<4},集合B={x|x<-6或x>1},集合C={x|x-m<0},求实数m的取值范围,使其满足下列两个条件:①C⊇(A∩B);②C⊇(A)∩(B).

【解析】因为A={x|-5<x<4},

B={x|x<-6或x>1},

所以A∩B={x|1<x<4}.

又A={x|x≤-5或x≥4},

B={x|-6≤x≤1},

所以(A)∩(B)={x|-6≤x≤-5}.

而C={x|x<m},因为当C⊇(A∩B)时,m≥4,

当C⊇(A)∩(B)时,m>-5,所以m≥4.

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