贵州省黔南州2016届九年级上学期期末数学试卷

一、选择题：共13小题，每小题4分，共52分．

1．点A（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）

2．下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x﹣1=0 B．2x²﹣y﹣3=0 C．x﹣y+2=0 D．3x²﹣2x﹣1=0

3．关于x的一元二次方程x²﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5．某县2013年对教育的投入为2500万元，2015年对教育的投入为3500万元，求该县2013﹣2015年对教育投入的年平均增长率，假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，则依题意所列方程正确的是（　　）

A．2500x²=3500 B．2500（1+x）²=3500

C．2500（1+x%）²=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）²=3500

6．如图，已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长度为（　　）

A．4 cm B．3 cm C．2 cm D． cm

7．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，连接AB，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

8．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠ABC的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．70°

9．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论中，正确的是（　　）

A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0

10．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）

A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=

C．当x＜ ，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0

11．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（　　）

A． B． C． D．

12．如图，是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（　　）

A． B． C． D．

13．如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是（　　）

A．8 B．10 C．15 D．20

二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分．

14．一元二次方程（a+1）x²﹣ax+a²﹣1=0的一个根为0，则a=　　　　　　．

15．边长为3的正六边形的面积为　　　　　　．

16．把x²﹣3x+4配成（x+h）²+k的形式，则x²﹣3x+4=　　　　　　．

17．如图，AB为⊙O的直径，∠CDB=30°，则∠CBA=　　　　　　．

18．甲、乙两人分别到A、B、C三个餐厅的其中一个用餐，那么甲乙在同一餐厅用餐的概率是　　　　　　．

19．如图，直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　　　　　　．

三、解答题

20．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，请求出这个多边形的边数．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．

（1）求出△ABC的面积．

（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁．

（3）写出点A₁，B₁，C₁的坐标．

22．先化简，再求值： ，其中 ．

23．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：BE=CE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

24．一项工程，甲，乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．

（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？

（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

贵州省黔南州2016届九年级上学期期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：共13小题，每小题4分，共52分．

1．点A（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣3）

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据关于原点对称点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．

【解答】解：点A（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3），

故选：A．

【点评】此题主要考查了关于原点对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

2．下列方程是一元二次方程的是（　　）

A．x﹣1=0 B．2x²﹣y﹣3=0 C．x﹣y+2=0 D．3x²﹣2x﹣1=0

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

【解答】解：A、x﹣1=0是一元一次方程，故A错误；

B、2x²﹣y﹣3=0是二元二次方程，故B错误；

C、x﹣y+2=0是二元一次方程，故C错误；

D、3x²﹣2x﹣1=0是一元二次方程，故D正确；

故选：D．

【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

3．关于x的一元二次方程x²﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【考点】根的判别式．

【分析】关于x的一元二次方程x²﹣6x+2k=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b²﹣4ac＞0，即可确定k的取值范围．

【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴△=b²﹣4ac＞0，即（﹣6）²﹣4×2k＞0，

解得k＜ ，故选B．

【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．

故选：A．

【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

5．某县2013年对教育的投入为2500万元，2015年对教育的投入为3500万元，求该县2013﹣2015年对教育投入的年平均增长率，假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，则依题意所列方程正确的是（　　）

A．2500x²=3500 B．2500（1+x）²=3500

C．2500（1+x%）²=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）²=3500

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】根据2013年教育经费额×（1+平均年增长率）²=2015年教育经费支出额，列出方程即可．

【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）²=3500．

故选B．

【点评】本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）²=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．

6．如图，已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长度为（　　）

A．4 cm B．3 cm C．2 cm D． cm

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AM的长，再由勾股定理求出OM的长，进而可得出CM的长，根据勾股定理即可得出AC的长．

【解答】解：连接OA，

∵⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，

∴OD=OC=OA=5cm，AM= AB=4cm，

∴OM= = =3cm，

∴MC=OA﹣OM=5﹣3=2cm，

∴AC= = =2 cm．

故选C．

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

7．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，连接AB，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．

【考点】扇形面积的计算．

【分析】根据S_阴影=S_扇形OAB﹣S_△AOB进行计算即可．

【解答】解：S_阴影=S_扇形AOB﹣S_△AOB= ﹣ = π﹣ ．

故选A．

【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S_阴影=S_扇形OAB﹣S_△AOB是解答此题的关键．

8．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠ABC的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．70°

【考点】圆周角定理．

【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC= ∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以 ∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．

【解答】解：∵∠ABC= ∠AOC，

而∠ABC+∠AOC=90°，

∴ ∠AOC+∠AOC=90°，

∴∠AOC=60°．

∴∠ABC=30°，

故选：A．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

9．已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，下列结论中，正确的是（　　）

A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【专题】压轴题．

【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，

与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，

对称轴为x= ＞0，

∴a、b异号，即b＞0．

故选D．

【点评】考查二次函数y=ax²+bx+c系数符号的确定．

10．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）

A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=

C．当x＜ ，y随x的增大而减小 D．当﹣1＜x＜2时，y＞0

【考点】二次函数的性质．

【专题】压轴题；数形结合．

【分析】根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；

根据图形直接判断B；

根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；

根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．

【解答】解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；

B、由图象可知，对称轴为x= ，正确，故B选项不符合题意；

C、因为a＞0，所以，当x＜ 时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；

D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．

故选：D．

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．

11．一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为（　　）

A． B． C． D．

【考点】概率公式．

【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．

【解答】解：6个黑球3个白球一共有9个球，所以摸到白球的概率是 ．

故选：B．

【点评】本题考查了概率的基本计算，摸到白球的概率是白球数比总的球数．

12．如图，是张老师出门散步时离家的距离y与时间x之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是（　　）

A． B． C． D．

【考点】函数的图象．

【专题】应用题．

【分析】分别根据函数图象的实际意义可依次判断各个选项是否正确．

【解答】解：根据函数图象可知，张老师距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有D符合题意．

故选D．

【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．

13．如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是（　　）

A．8 B．10 C．15 D．20

【考点】圆锥的计算；平面展开-最短路径问题．

【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．

【解答】解：圆锥的底面周长=2π×5=10π，

设侧面展开图的圆心角的度数为n．

∴ =10π，

解得n=90，

圆锥的侧面展开图，如图所示：

∴最短路程为： =20 ，故选D．

【点评】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．

二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分．

14．一元二次方程（a+1）x²﹣ax+a²﹣1=0的一个根为0，则a=　1　．

【考点】一元二次方程的定义．

【专题】计算题；待定系数法．

【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得到a+1≠0且a²﹣1=0，然后解不等式和方程即可得到a的值．

【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x²﹣ax+a²﹣1=0的一个根为0，

∴a+1≠0且a²﹣1=0，

∴a=1．

故答案为：1．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax²+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．

15．边长为3的正六边形的面积为　 　．

【考点】正多边形和圆．

【分析】根据题意画出图形，边长为3的正六边形可以分成六个边长为3的正三角形，计算出正六边形的面积即可．

【解答】解：如图，连接OD，OE，

∵∠DOE=360°× =60°，

又∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED=（180°﹣60°）÷2=60°，

∴三角形ODE为正三角形，

∴OD=OE=DE=3，

∴S_△ODE= OD•OE•sin60°= ×3×3× = ．

∴正六边形的面积=6× = ．

故答案为： ．

【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，构造出等边三角形是解答此题的关键．

16．把x²﹣3x+4配成（x+h）²+k的形式，则x²﹣3x+4=　（x﹣ ）²+ 　．

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】根据完全平方公式得出=x²﹣3x+（ ）²﹣（ ）²+4，即可得出答案．

【解答】解：x²﹣3x+4

=x²﹣3x+（ ）²﹣（ ）²+4

=（x﹣ ）²+ ，

故答案为：（x﹣ ）²+ ．

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．

17．如图，AB为⊙O的直径，∠CDB=30°，则∠CBA=　60°　．

【考点】圆周角定理．

【分析】连接AC，根据圆周角定理求出∠A的度数，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：连接AC，

由圆周角定理得，∠A=∠CDB=30°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠CBA=90°﹣∠A=60°，

故答案为：60°．

【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、直径所对的圆周角是直角是解题的关键．

18．甲、乙两人分别到A、B、C三个餐厅的其中一个用餐，那么甲乙在同一餐厅用餐的概率是　 　．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．

【解答】解：画树状图得：

∴甲、乙两人一共有9种用餐情况，

甲乙在同一餐厅用餐的情况有3种，

∴甲乙在同一餐厅用餐的概率是 = ．

故答案为： ．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．

19．如图，直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　（7，3）　．

【考点】坐标与图形变化-旋转；一次函数的性质．

【专题】图表型．

【分析】根据旋转的性质﹣﹣旋转不改变图形的形状和大小解答．

【解答】解：直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，4）两点，由图易知点B′的纵坐标为O′A=OA=3，横坐标为OA+O′B′=OA+OB=7．则点B′的坐标是（7，3）．

故答案为：（7，3）．

【点评】解题时需注意旋转前后线段的长度不变．

三、解答题

20．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，请求出这个多边形的边数．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】设这个多边形的边数为n，根据n边形的内角和的计算公式（n﹣2）•180°列出方程，解方程即可．

【解答】解：设这个多边形的边数为n，

由题意得，（n﹣2）×180°=360°×4，

解得：n=10．

答：这个多边形的边数为10．

【点评】本题考查的是多边形的内角和和外角和的计算，掌握n边形的内角和的计算公式：（n﹣2）•180°是解题的关键．

21．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．

（1）求出△ABC的面积．

（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁．

（3）写出点A₁，B₁，C₁的坐标．

【考点】作图-轴对称变换．

【专题】综合题．

【分析】（1）根据网格可以看出三角形的底AB是5，高是C到AB的距离，是3，利用面积公式计算．

（2）从三角形的各顶点向y轴引垂线并延长相同长度，找对应点．顺次连接即可．

（3）从图中读出新三角形三点的坐标．

【解答】解：（1）S_△ABC= ×5×3= （或7.5）（平方单位）．

（2）如图．

（3）A₁（1，5），B₁（1，0），C₁（4，3）．

【点评】本题综合考查了三角形的面积，网格，轴对称图形，及直角坐标系，学生对所学的知识要会灵活运用．

22．先化简，再求值： ，其中 ．

【考点】分式的化简求值．

【分析】分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，注意化简后，将 ，代入化简后的式子求出即可．

【解答】解：

= ÷（ + ）

= ÷

= ×

= ，

把 ，代入原式= = = = ．

【点评】此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算是解题关键．

23．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：BE=CE；

（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；

（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可．

【解答】证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，

∴∠BAE=∠EAC，

在△ABE和△ACE中， ，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴BE=CE；

（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，

∴△ABF为等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∵AB=AC，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠EAF+∠C=90°，

∵BF⊥AC，

∴∠CBF+∠C=90°，

∴∠EAF=∠CBF，

在△AEF和△BCF中， ，

∴△AEF≌△BCF（ASA）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键．

24．一项工程，甲，乙两公司合作，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．

（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？

（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．

【分析】（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙工程公司单独完成需1.5x天，根据合作12天完成列出方程求解即可．

（2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．

【解答】解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．

根据题意，得 + = ，

解得x=20，

经检验知x=20是方程的解且符合题意．

1.5x=30

故甲公司单独完成此项工程，需20天，乙公司单独完成此项工程，需30天；

（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y﹣1500）元，

根据题意得12（y+y﹣1500）=102000，解得y=5000，

甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）；

乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）=105000（元）；

故甲公司的施工费较少．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是从实际问题中整理出等量关系并利用等量关系求解．